Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (x-atan(x))/x

Gráfico de la función y = (x-atan(x))/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x - atan(x)
f(x) = -----------
            x
f(x)=x−atan⁡(x)xf{\left(x \right)} = \frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} 
f = (x - atan(x))/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−atan⁡(x)x=0\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - atan(x))/x.
(−1)atan⁡(0)0\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(0 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−1x2+1x−x−atan⁡(x)x2=0\frac{1 - \frac{1}{x^{2} + 1}}{x} - \frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1(x2+1)2−1−1x2+1x2+x−atan⁡(x)x3)=02 \left(\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{1}{x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=35091.4193808263x_{1} = 35091.4193808263
x2=34243.9376956648x_{2} = 34243.9376956648
x3=39328.9082586829x_{3} = 39328.9082586829
x4=−35807.6915063267x_{4} = -35807.6915063267
x5=22380.1955391774x_{5} = 22380.1955391774
x6=−30722.8706098459x_{6} = -30722.8706098459
x7=−13777.9528687106x_{7} = -13777.9528687106
x8=−27333.1600401366x_{8} = -27333.1600401366
x9=29159.2003252746x_{9} = 29159.2003252746
x10=−22249.0089679681x_{10} = -22249.0089679681
x11=24922.2028333361x_{11} = 24922.2028333361
x12=14755.9098946331x_{12} = 14755.9098946331
x13=32548.9938302493x_{13} = 32548.9938302493
x14=23227.5111931876x_{14} = 23227.5111931876
x15=−41740.2339077835x_{15} = -41740.2339077835
x16=−25638.3764808866x_{16} = -25638.3764808866
x17=−40045.200699405x_{17} = -40045.200699405
x18=30854.0796138324x_{18} = 30854.0796138324
x19=−32417.7823374113x_{19} = -32417.7823374113
x20=36786.3999720604x_{20} = 36786.3999720604
x21=38481.4009560817x_{21} = 38481.4009560817
x22=−20554.4589230473x_{22} = -20554.4589230473
x23=−29027.9942673228x_{23} = -29027.9942673228
x24=33396.4623441345x_{24} = 33396.4623441345
x25=42718.9764779462x_{25} = 42718.9764779462
x26=−37502.6810741109x_{26} = -37502.6810741109
x27=20685.6372914068x_{27} = 20685.6372914068
x28=26616.9618149323x_{28} = 26616.9618149323
x29=−19707.2277068126x_{29} = -19707.2277068126
x30=27464.3625756376x_{30} = 27464.3625756376
x31=−33265.2497493132x_{31} = -33265.2497493132
x32=18991.1989022647x_{32} = 18991.1989022647
x33=−15471.7094086361x_{33} = -15471.7094086361
x34=28311.7757817209x_{34} = 28311.7757817209
x35=−38350.1832294739x_{35} = -38350.1832294739
x36=−29875.4276313394x_{36} = -29875.4276313394
x37=−39197.6898675483x_{37} = -39197.6898675483
x38=19838.4011345249x_{38} = 19838.4011345249
x39=−16318.7051059726x_{39} = -16318.7051059726
x40=−34960.2048211459x_{40} = -34960.2048211459
x41=−14624.7872654406x_{41} = -14624.7872654406
x42=−40892.7154604225x_{42} = -40892.7154604225
x43=−17165.7630690841x_{43} = -17165.7630690841
x44=30006.6352261022x_{44} = 30006.6352261022
x45=31701.5327129569x_{45} = 31701.5327129569
x46=−31570.3224135921x_{46} = -31570.3224135921
x47=17296.9168753704x_{47} = 17296.9168753704
x48=41871.4540524163x_{48} = 41871.4540524163
x49=−34112.7240812326x_{49} = -34112.7240812326
x50=−18860.0311162648x_{50} = -18860.0311162648
x51=13909.0609135441x_{51} = 13909.0609135441
x52=−23943.6546259988x_{52} = -23943.6546259988
x53=24074.8476839204x_{53} = 24074.8476839204
x54=−21401.7205331734x_{54} = -21401.7205331734
x55=16449.8501748613x_{55} = 16449.8501748613
x56=15602.8442113574x_{56} = 15602.8442113574
x57=−23096.3211959955x_{57} = -23096.3211959955
x58=−26485.7613049863x_{58} = -26485.7613049863
x59=−24791.0070298053x_{59} = -24791.0070298053
x60=−42587.7558182743x_{60} = -42587.7558182743
x61=−28180.5714040467x_{61} = -28180.5714040467
x62=21532.9032526334x_{62} = 21532.9032526334
x63=−36655.1837175529x_{63} = -36655.1837175529
x64=18144.0355110268x_{64} = 18144.0355110268
x65=37633.8980899723x_{65} = 37633.8980899723
x66=−18012.8742069935x_{66} = -18012.8742069935
x67=25769.574756724x_{67} = 25769.574756724
x68=41023.9350572335x_{68} = 41023.9350572335
x69=35938.9069439519x_{69} = 35938.9069439519
x70=40176.419712769x_{70} = 40176.419712769
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(1(x2+1)2−1−1x2+1x2+x−atan⁡(x)x3))=23\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{1}{x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \frac{2}{3}
lim⁡x→0+(2(1(x2+1)2−1−1x2+1x2+x−atan⁡(x)x3))=23\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{1}{x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \frac{2}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−atan⁡(x)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x−atan⁡(x)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - atan(x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−atan⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−atan⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−atan⁡(x)x=−−x+atan⁡(x)x\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} = - \frac{- x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}
- No
x−atan⁡(x)x=−x+atan⁡(x)x\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} = \frac{- x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор