Sr Examen

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atan(sqrt(x))-x-(1/10)

Gráfico de la función y = atan(sqrt(x))-x-(1/10)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           /  ___\       1 
f(x) = atan\\/ x / - x - --
                         10
$$f{\left(x \right)} = \left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
f = -x + atan(sqrt(x)) - 1/10
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0.528690576411237$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(sqrt(x)) - x - 1/10.
$$- \frac{1}{10} + \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{0} \right)} - 0\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{10}$$
Punto:
(0, -1/10)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$-1 + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                            2                                                    2                                                     
 /     _____________                       \          /     _____________                       \        /       _____________                       \ 
 |    /       _____                        |          |    /       _____                        |        |      /       _____                        | 
 |   /  1   \/ 129              1          |     1    |   /  1   \/ 129              1          |        |     /  1   \/ 129              1          | 
(|3 /   - + -------  - --------------------|, - -- - |3 /   - + -------  - --------------------|  - atan|- 3 /   - + -------  + --------------------|)
 |\/    4      36             _____________|     10   |\/    4      36             _____________|        |  \/    4      36             _____________| 
 |                           /       _____ |          |                           /       _____ |        |                             /       _____ | 
 |                          /  1   \/ 129  |          |                          /  1   \/ 129  |        |                            /  1   \/ 129  | 
 |                     3*3 /   - + ------- |          |                     3*3 /   - + ------- |        |                       3*3 /   - + ------- | 
 \                       \/    4      36   /          \                       \/    4      36   /        \                         \/    4      36   / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x}}{4 \sqrt{x} \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(sqrt(x)) - x - 1/10, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10} = x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- x} \right)} - \frac{1}{10}$$
- No
$$\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10} = - x - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- x} \right)} + \frac{1}{10}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = atan(sqrt(x))-x-(1/10)