Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$-1 + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 2
/ _____________ \ / _____________ \ / _____________ \
| / _____ | | / _____ | | / _____ |
| / 1 \/ 129 1 | 1 | / 1 \/ 129 1 | | / 1 \/ 129 1 |
(|3 / - + ------- - --------------------|, - -- - |3 / - + ------- - --------------------| - atan|- 3 / - + ------- + --------------------|)
|\/ 4 36 _____________| 10 |\/ 4 36 _____________| | \/ 4 36 _____________|
| / _____ | | / _____ | | / _____ |
| / 1 \/ 129 | | / 1 \/ 129 | | / 1 \/ 129 |
| 3*3 / - + ------- | | 3*3 / - + ------- | | 3*3 / - + ------- |
\ \/ 4 36 / \ \/ 4 36 / \ \/ 4 36 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}, \infty\right)$$