Sr Examen

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atan(sqrt(x))-x-(1/10)
Trazado el gráfico de la función/ atan(sqrt(x))-x-(1/10)

Gráfico de la función y = atan(sqrt(x))-x-(1/10)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  ___\       1 
f(x) = atan\\/ x / - x - --
                         10
f(x)=(−x+atan⁡(x))−110f{\left(x \right)} = \left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10} 
f = -x + atan(sqrt(x)) - 1/10
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x+atan⁡(x))−110=0\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.528690576411237x_{1} = 0.528690576411237
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(sqrt(x)) - x - 1/10.
−110+(atan⁡(0)−0)- \frac{1}{10} + \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{0} \right)} - 0\right)
Resultado:
f(0)=−110f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{10}
Punto:
(0, -1/10)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1+12x(x+1)=0-1 + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=(−1314+129363+14+129363)2x_{1} = \left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}
Signos de extremos en los puntos:
                                            2                                                    2                                                     
 /     _____________                       \          /     _____________                       \        /       _____________                       \ 
 |    /       _____                        |          |    /       _____                        |        |      /       _____                        | 
 |   /  1   \/ 129              1          |     1    |   /  1   \/ 129              1          |        |     /  1   \/ 129              1          | 
(|3 /   - + -------  - --------------------|, - -- - |3 /   - + -------  - --------------------|  - atan|- 3 /   - + -------  + --------------------|)
 |\/    4      36             _____________|     10   |\/    4      36             _____________|        |  \/    4      36             _____________| 
 |                           /       _____ |          |                           /       _____ |        |                             /       _____ | 
 |                          /  1   \/ 129  |          |                          /  1   \/ 129  |        |                            /  1   \/ 129  | 
 |                     3*3 /   - + ------- |          |                     3*3 /   - + ------- |        |                       3*3 /   - + ------- | 
 \                       \/    4      36   /          \                       \/    4      36   /        \                         \/    4      36   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=(−1314+129363+14+129363)2x_{1} = \left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,(−1314+129363+14+129363)2]\left(-\infty, \left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}\right]
Crece en los intervalos
[(−1314+129363+14+129363)2,∞)\left[\left(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{129}}{36}}\right)^{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2x+1+1x4x(x+1)=0- \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x}}{4 \sqrt{x} \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x+atan⁡(x))−110)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x+atan⁡(x))−110)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(sqrt(x)) - x - 1/10, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x+atan⁡(x))−110x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((−x+atan⁡(x))−110x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x+atan⁡(x))−110=x+atan⁡(−x)−110\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10} = x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- x} \right)} - \frac{1}{10}
- No
(−x+atan⁡(x))−110=−x−atan⁡(−x)+110\left(- x + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) - \frac{1}{10} = - x - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- x} \right)} + \frac{1}{10}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = atan(sqrt(x))-x-(1/10)
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