Sr Examen

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atan(x)/x
Trazado el gráfico de la función/ atan(x)/x

Gráfico de la función y = atan(x)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       atan(x)
f(x) = -------
          x
f(x)=atan⁡(x)xf{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} 
f = atan(x)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x)x=0\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x)/x.
atan⁡(0)0\frac{\operatorname{atan}{\left(0 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x2+1)−atan⁡(x)x2=0\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−1(x2+1)2−1x2(x2+1)+atan⁡(x)x3)=02 \left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−30722.8706098459x_{1} = -30722.8706098459
x2=18144.0355110268x_{2} = 18144.0355110268
x3=13909.0609135441x_{3} = 13909.0609135441
x4=−21401.7205331734x_{4} = -21401.7205331734
x5=22380.1955391774x_{5} = 22380.1955391774
x6=−29027.9942673228x_{6} = -29027.9942673228
x7=25769.574756724x_{7} = 25769.574756724
x8=20685.6372914068x_{8} = 20685.6372914068
x9=−38350.1832294739x_{9} = -38350.1832294739
x10=−23096.3211959955x_{10} = -23096.3211959955
x11=17296.9168753704x_{11} = 17296.9168753704
x12=14755.9098946331x_{12} = 14755.9098946331
x13=−18012.8742069935x_{13} = -18012.8742069935
x14=23227.5111931876x_{14} = 23227.5111931876
x15=21532.9032526334x_{15} = 21532.9032526334
x16=29159.2003252746x_{16} = 29159.2003252746
x17=−40045.200699405x_{17} = -40045.200699405
x18=−27333.1600401366x_{18} = -27333.1600401366
x19=41023.9350572335x_{19} = 41023.9350572335
x20=−18860.0311162648x_{20} = -18860.0311162648
x21=42718.9764779462x_{21} = 42718.9764779462
x22=38481.4009560817x_{22} = 38481.4009560817
x23=−41740.2339077835x_{23} = -41740.2339077835
x24=−34960.2048211459x_{24} = -34960.2048211459
x25=−31570.3224135921x_{25} = -31570.3224135921
x26=−42587.7558182743x_{26} = -42587.7558182743
x27=34243.9376956648x_{27} = 34243.9376956648
x28=37633.8980899723x_{28} = 37633.8980899723
x29=39328.9082586829x_{29} = 39328.9082586829
x30=40176.419712769x_{30} = 40176.419712769
x31=−16318.7051059726x_{31} = -16318.7051059726
x32=19838.4011345249x_{32} = 19838.4011345249
x33=−24791.0070298053x_{33} = -24791.0070298053
x34=−23943.6546259988x_{34} = -23943.6546259988
x35=−28180.5714040467x_{35} = -28180.5714040467
x36=−34112.7240812326x_{36} = -34112.7240812326
x37=−19707.2277068126x_{37} = -19707.2277068126
x38=35938.9069439519x_{38} = 35938.9069439519
x39=−37502.6810741109x_{39} = -37502.6810741109
x40=32548.9938302493x_{40} = 32548.9938302493
x41=28311.7757817209x_{41} = 28311.7757817209
x42=−26485.7613049863x_{42} = -26485.7613049863
x43=−25638.3764808866x_{43} = -25638.3764808866
x44=−14624.7872654406x_{44} = -14624.7872654406
x45=24922.2028333361x_{45} = 24922.2028333361
x46=−33265.2497493132x_{46} = -33265.2497493132
x47=−39197.6898675483x_{47} = -39197.6898675483
x48=−35807.6915063267x_{48} = -35807.6915063267
x49=24074.8476839204x_{49} = 24074.8476839204
x50=26616.9618149323x_{50} = 26616.9618149323
x51=−40892.7154604225x_{51} = -40892.7154604225
x52=35091.4193808263x_{52} = 35091.4193808263
x53=33396.4623441345x_{53} = 33396.4623441345
x54=15602.8442113574x_{54} = 15602.8442113574
x55=36786.3999720604x_{55} = 36786.3999720604
x56=−32417.7823374113x_{56} = -32417.7823374113
x57=−13777.9528687106x_{57} = -13777.9528687106
x58=−36655.1837175529x_{58} = -36655.1837175529
x59=−20554.4589230473x_{59} = -20554.4589230473
x60=30854.0796138324x_{60} = 30854.0796138324
x61=41871.4540524163x_{61} = 41871.4540524163
x62=−15471.7094086361x_{62} = -15471.7094086361
x63=16449.8501748613x_{63} = 16449.8501748613
x64=−17165.7630690841x_{64} = -17165.7630690841
x65=30006.6352261022x_{65} = 30006.6352261022
x66=−29875.4276313394x_{66} = -29875.4276313394
x67=27464.3625756376x_{67} = 27464.3625756376
x68=31701.5327129569x_{68} = 31701.5327129569
x69=−22249.0089679681x_{69} = -22249.0089679681
x70=18991.1989022647x_{70} = 18991.1989022647
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(−1(x2+1)2−1x2(x2+1)+atan⁡(x)x3))=−23\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = - \frac{2}{3}
lim⁡x→0+(2(−1(x2+1)2−1x2(x2+1)+atan⁡(x)x3))=−23\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = - \frac{2}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(atan⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x)x=atan⁡(x)x\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} = \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}
- No
atan⁡(x)x=−atan⁡(x)x\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = atan(x)/x
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