Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- y=ln(x/(x- tres))- dos
- y es igual a ln(x dividir por (x menos 3)) menos 2
- y es igual a ln(x dividir por (x menos tres)) menos dos
- y=lnx/x-3-2
- y=ln(x dividir por (x-3))-2
-
Expresiones semejantes
- y=ln(x/(x+3))-2
- y=ln(x/(x-3))+2
- ln((x/(x-3))-2)
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln*(12-x^2)
- ln(abs(x))+ln(abs(x+1))
- ln(9/(x^2+2))
- ln(12-4x)+x+17/5
- ln(2*x^2+11*x+12)
Gráfico de la función y = y=ln(x/(x-3))-2
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
f(x) = log|-----| - 2
\x - 3/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2$$
f = log(x/(x - 3)) - 2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3 e^{2}}{1 - e^{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.469552928249$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3 e^{2}}{1 - e^{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.469552928249$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x - 3}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x - 3}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -2$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -2$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x/(x - 3)) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 = \log{\left(- \frac{x}{- x - 3} \right)} - 2$$
- No
$$\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 = 2 - \log{\left(- \frac{x}{- x - 3} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 = \log{\left(- \frac{x}{- x - 3} \right)} - 2$$
- No
$$\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 = 2 - \log{\left(- \frac{x}{- x - 3} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico