Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ ln(arctg(sqrt(1+x^2)))

Gráfico de la función y = ln(arctg(sqrt(1+x^2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    /   ________\\
          |    |  /      2 ||
f(x) = log\atan\\/  1 + x  //
f(x)=log⁡(atan⁡(x2+1))f{\left(x \right)} = \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)} 
f = log(atan(sqrt(x^2 + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(atan⁡(x2+1))=0\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−−1+tan⁡2(1)x_{1} = - \sqrt{-1 + \tan^{2}{\left(1 \right)}}
x2=−1+tan⁡2(1)x_{2} = \sqrt{-1 + \tan^{2}{\left(1 \right)}}
Solución numérica
x1=1.19395092898107x_{1} = 1.19395092898107
x2=−1.19395092898107x_{2} = -1.19395092898107
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(atan(sqrt(1 + x^2))).
log⁡(atan⁡(02+1))\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{0^{2} + 1} \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(π4)f{\left(0 \right)} = \log{\left(\frac{\pi}{4} \right)}
Punto:
(0, log(pi/4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx2+1(x2+2)atan⁡(x2+1)=0\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right) \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
       /pi\ 
(0, log|--|)
       \4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x2(x2+1)(x2+2)atan⁡(x2+1)−2x2x2+1(x2+2)−x2(x2+1)32+1x2+1(x2+2)atan⁡(x2+1)=0\frac{- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 2\right) \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} - \frac{2 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right)} - \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{\left(x^{2} + 2\right) \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=37234.4067292106x_{1} = 37234.4067292106
x2=−29477.0289054257x_{2} = -29477.0289054257
x3=36387.0057560905x_{3} = 36387.0057560905
x4=33844.8634791496x_{4} = 33844.8634791496
x5=32997.5055113684x_{5} = 32997.5055113684
x6=22830.6212660871x_{6} = 22830.6212660871
x7=−23546.562317688x_{7} = -23546.562317688
x8=32150.1604300143x_{8} = 32150.1604300143
x9=28760.9315644557x_{9} = 28760.9315644557
x10=38081.8166918497x_{10} = 38081.8166918497
x11=42318.9825526201x_{11} = 42318.9825526201
x12=−32018.9685280209x_{12} = -32018.9685280209
x13=12670.6242796097x_{13} = 12670.6242796097
x14=17749.0313039524x_{14} = 17749.0313039524
x15=31302.8292737941x_{15} = 31302.8292737941
x16=16055.7280126796x_{16} = 16055.7280126796
x17=19442.6628651501x_{17} = 19442.6628651501
x18=−21852.415885291x_{18} = -21852.415885291
x19=−15078.1821501289x_{19} = -15078.1821501289
x20=−37950.613017134x_{20} = -37950.613017134
x21=16902.3325334349x_{21} = 16902.3325334349
x22=−10003.2545763746x_{22} = -10003.2545763746
x23=24524.8529043391x_{23} = 24524.8529043391
x24=−14231.8381808352x_{24} = -14231.8381808352
x25=30455.5131961381x_{25} = 30455.5131961381
x26=18595.8115933327x_{26} = 18595.8115933327
x27=10979.279075196x_{27} = 10979.279075196
x28=−22699.4694804345x_{28} = -22699.4694804345
x29=39776.6613011861x_{29} = 39776.6613011861
x30=25372.0172118293x_{30} = 25372.0172118293
x31=40624.0949240806x_{31} = 40624.0949240806
x32=14362.8674440899x_{32} = 14362.8674440899
x33=−26088.0383799319x_{33} = -26088.0383799319
x34=−20158.4459937521x_{34} = -20158.4459937521
x35=0.752790637649758x_{35} = 0.752790637649758
x36=−26935.2526480881x_{36} = -26935.2526480881
x37=−27782.4905038431x_{37} = -27782.4905038431
x38=−41340.3272166395x_{38} = -41340.3272166395
x39=−34561.0357109551x_{39} = -34561.0357109551
x40=−39645.4551866239x_{40} = -39645.4551866239
x41=10134.0812045639x_{41} = 10134.0812045639
x42=−19311.541605898x_{42} = -19311.541605898
x43=38929.2350605258x_{43} = 38929.2350605258
x44=15209.2332699407x_{44} = 15209.2332699407
x45=−21005.4062300727x_{45} = -21005.4062300727
x46=23677.7197767409x_{46} = 23677.7197767409
x47=−42187.7733110616x_{47} = -42187.7733110616
x48=−33713.6675787605x_{48} = -33713.6675787605
x49=−31171.6396175181x_{49} = -31171.6396175181
x50=−24393.6903459537x_{50} = -24393.6903459537
x51=−17617.9322016025x_{51} = -17617.9322016025
x52=−12539.6524455635x_{52} = -12539.6524455635
x53=34692.2333954567x_{53} = 34692.2333954567
x54=−35408.4150681374x_{54} = -35408.4150681374
x55=−36255.8048683549x_{55} = -36255.8048683549
x56=26219.2097026387x_{56} = 26219.2097026387
x57=−37103.2044006401x_{57} = -37103.2044006401
x58=11824.8157220338x_{58} = 11824.8157220338
x59=27913.6690524055x_{59} = 27913.6690524055
x60=−25240.8500532548x_{60} = -25240.8500532548
x61=−10848.3928843161x_{61} = -10848.3928843161
x62=−28629.7498697618x_{62} = -28629.7498697618
x63=21983.5613339452x_{63} = 21983.5613339452
x64=−30324.3259745658x_{64} = -30324.3259745658
x65=20289.5763240717x_{65} = 20289.5763240717
x66=13516.6543992351x_{66} = 13516.6543992351
x67=41471.5354792615x_{67} = 41471.5354792615
x68=35539.6144112543x_{68} = 35539.6144112543
x69=−15924.6583736519x_{69} = -15924.6583736519
x70=−32866.3115335775x_{70} = -32866.3115335775
x71=−16771.2470659662x_{71} = -16771.2470659662
x72=−40492.8877020291x_{72} = -40492.8877020291
x73=29608.2134814904x_{73} = 29608.2134814904
x74=21136.5445704371x_{74} = 21136.5445704371
x75=−13385.6511830744x_{75} = -13385.6511830744
x76=−38798.0301262354x_{76} = -38798.0301262354
x77=27066.4277522955x_{77} = 27066.4277522955
x78=−11693.8821689904x_{78} = -11693.8821689904
x79=−18464.7006622259x_{79} = -18464.7006622259

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0.752790637649758]\left(-\infty, 0.752790637649758\right]
Convexa en los intervalos
[0.752790637649758,∞)\left[0.752790637649758, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(atan⁡(x2+1))=−log⁡(2)+log⁡(π)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)} = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(\pi \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−log⁡(2)+log⁡(π)y = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(\pi \right)}
lim⁡x→∞log⁡(atan⁡(x2+1))=−log⁡(2)+log⁡(π)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)} = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(\pi \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−log⁡(2)+log⁡(π)y = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(\pi \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(atan(sqrt(1 + x^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(atan⁡(x2+1))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(atan⁡(x2+1))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(atan⁡(x2+1))=log⁡(atan⁡(x2+1))\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)} = \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)}
- Sí
log⁡(atan⁡(x2+1))=−log⁡(atan⁡(x2+1))\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)} = - \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
    © Sr Examen – Калькулятор