Sr Examen

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arctg((x-3)/(x^2+4))
Trazado el gráfico de la función/ arctg((x-3)/(x^2+4))

Gráfico de la función y = arctg((x-3)/(x^2+4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /x - 3 \
f(x) = atan|------|
           | 2    |
           \x  + 4/
f(x)=atan⁡(x−3x2+4)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 3}{x^{2} + 4} \right)} 
f = atan((x - 3)/(x^2 + 4))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.0-1.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x−3x2+4)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{x - 3}{x^{2} + 4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((x - 3)/(x^2 + 4)).
atan⁡(−302+4)\operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{0^{2} + 4} \right)}
Resultado:
f(0)=−atan⁡(34)f{\left(0 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}
Punto:
(0, -atan(3/4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x−3)(x2+4)2+1x2+4(x−3)2(x2+4)2+1=0\frac{- \frac{2 x \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4}}{\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3−13x_{1} = 3 - \sqrt{13}
x2=3+13x_{2} = 3 + \sqrt{13}
Signos de extremos en los puntos:
                  /        ____     \ 
       ____       |      \/ 13      | 
(3 - \/ 13, -atan|-----------------|)
                  |                2| 
                  |    /      ____\ | 
                  \4 + \3 - \/ 13 / / 

                 /        ____     \ 
       ____      |      \/ 13      | 
(3 + \/ 13, atan|-----------------|)
                 |                2| 
                 |    /      ____\ | 
                 \4 + \3 + \/ 13 / /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3−13x_{1} = 3 - \sqrt{13}
Puntos máximos de la función:
x1=3+13x_{1} = 3 + \sqrt{13}
Decrece en los intervalos
[3−13,3+13]\left[3 - \sqrt{13}, 3 + \sqrt{13}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,3−13]∪[3+13,∞)\left(-\infty, 3 - \sqrt{13}\right] \cup \left[3 + \sqrt{13}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(−4x2(x−3)x2+4+3x+(x−3)(2x(x−3)x2+4−1)2(x2+4)((x−3)2(x2+4)2+1)−3)(x2+4)2((x−3)2(x2+4)2+1)=0- \frac{2 \left(- \frac{4 x^{2} \left(x - 3\right)}{x^{2} + 4} + 3 x + \frac{\left(x - 3\right) \left(\frac{2 x \left(x - 3\right)}{x^{2} + 4} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + 1\right)} - 3\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2.00324797075255x_{1} = -2.00324797075255
x2=0.910265164932451x_{2} = 0.910265164932451
x3=10.0808670613274x_{3} = 10.0808670613274

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2.00324797075255,0.910265164932451]∪[10.0808670613274,∞)\left[-2.00324797075255, 0.910265164932451\right] \cup \left[10.0808670613274, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2.00324797075255]∪[0.910265164932451,10.0808670613274]\left(-\infty, -2.00324797075255\right] \cup \left[0.910265164932451, 10.0808670613274\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x−3x2+4)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 3}{x^{2} + 4} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡(x−3x2+4)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 3}{x^{2} + 4} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((x - 3)/(x^2 + 4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x−3x2+4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x - 3}{x^{2} + 4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x−3x2+4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x - 3}{x^{2} + 4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Gráfico
Gráfico de la función y = arctg((x-3)/(x^2+4))
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