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arctg(x/2)-x/4
Trazado el gráfico de la función/ arctg(x/2)-x/4

Gráfico de la función y = arctg(x/2)-x/4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /x\   x
f(x) = atan|-| - -
           \2/   4
f(x)=−x4+atan⁡(x2)f{\left(x \right)} = - \frac{x}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = -x/4 + atan(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x4+atan⁡(x2)=0- \frac{x}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=4.66224474082885x_{1} = 4.66224474082885
x2=0x_{2} = 0
x3=−4.66224474082885x_{3} = -4.66224474082885
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x/2) - x/4.
atan⁡(02)−04\operatorname{atan}{\left(\frac{0}{2} \right)} - \frac{0}{4}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−14+12(x24+1)=0- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
     1   pi 
(-2, - - --)
     2   4  

      1   pi 
(2, - - + --)
      2   4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
[−2,2]\left[-2, 2\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[2,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x4(x24+1)2=0- \frac{x}{4 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x4+atan⁡(x2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x4+atan⁡(x2))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x/2) - x/4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x4+atan⁡(x2)x)=−14\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = - \frac{1}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−x4y = - \frac{x}{4}
lim⁡x→∞(−x4+atan⁡(x2)x)=−14\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = - \frac{1}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−x4y = - \frac{x}{4}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x4+atan⁡(x2)=x4−atan⁡(x2)- \frac{x}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{x}{4} - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
−x4+atan⁡(x2)=−x4+atan⁡(x2)- \frac{x}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{x}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = arctg(x/2)-x/4
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