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Trazado el gráfico de la función/ arctg(4x-1)

Gráfico de la función y = arctg(4x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = atan(4*x - 1)
f(x)=atan⁡(4x−1)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)} 
f = atan(4*x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(4x−1)=0\operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Solución numérica
x1=0.25x_{1} = 0.25
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(4*x - 1).
atan⁡(−1+0⋅4)\operatorname{atan}{\left(-1 + 0 \cdot 4 \right)}
Resultado:
f(0)=−π4f{\left(0 \right)} = - \frac{\pi}{4}
Punto:
(0, -pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4(4x−1)2+1=0\frac{4}{\left(4 x - 1\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−32(4x−1)((4x−1)2+1)2=0- \frac{32 \left(4 x - 1\right)}{\left(\left(4 x - 1\right)^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,14]\left(-\infty, \frac{1}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[14,∞)\left[\frac{1}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(4x−1)=−π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(4x−1)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(4*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(4x−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(4x−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(4x−1)=−atan⁡(4x+1)\operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(4 x + 1 \right)}
- No
atan⁡(4x−1)=atan⁡(4x+1)\operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)} = \operatorname{atan}{\left(4 x + 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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