Sr Examen

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Gráfico de la función y = (x-1)*(x+3)*(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = (x - 1)*(x + 3)*(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 2\right)$$
f = ((x - 1)*(x + 3))*(x - 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 1)*(x + 3))*(x - 2).
$$\left(-2\right) \left(- 3\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 6$$
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) + \left(x - 1\right) \left(x + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
    ____   /       ____\ /       ____\ /      ____\ 
 -\/ 21    |     \/ 21 | |     \/ 21 | |    \/ 21 | 
(--------, |-1 - ------|*|-2 - ------|*|3 - ------|)
    3      \       3   / \       3   / \      3   / 

   ____  /       ____\ /       ____\ /      ____\ 
 \/ 21   |     \/ 21 | |     \/ 21 | |    \/ 21 | 
(------, |-1 + ------|*|-2 + ------|*|3 + ------|)
   3     \       3   / \       3   / \      3   / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 2\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 1)*(x + 3))*(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 2\right) = \left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
$$\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 2\right) = - \left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar