Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin2x+2sinxcosx+3cos2x

Gráfico de la función y = sin2x+2sinxcosx+3cos2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(2*x) + 2*sin(x)*cos(x) + 3*cos(2*x)
f(x)=(2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x))+3cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 3 \cos{\left(2 x \right)} 
f = (2*sin(x))*cos(x) + sin(2*x) + 3*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x))+3cos⁡(2x)=0\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 3 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=56.0572709029926x_{1} = 56.0572709029926
x2=40.3493076350437x_{2} = 40.3493076350437
x3=−90.0267874889328x_{3} = -90.0267874889328
x4=−74.3188242209838x_{4} = -74.3188242209838
x5=−3.63298951521346x_{5} = -3.63298951521346
x6=−39.7613050314961x_{6} = -39.7613050314961
x7=46.6324929422232x_{7} = 46.6324929422232
x8=−17.7701564563675x_{8} = -17.7701564563675
x9=−9.91617482239304x_{9} = -9.91617482239304
x10=−0.491396861623665x_{10} = -0.491396861623665
x11=49.774085595813x_{11} = 49.774085595813
x12=12.0749737527355x_{12} = 12.0749737527355
x13=−38.1905087047012x_{13} = -38.1905087047012
x14=21.4997517135049x_{14} = 21.4997517135049
x15=−33.4781197243165x_{15} = -33.4781197243165
x16=41.9201039618385x_{16} = 41.9201039618385
x17=−63.3232499334195x_{17} = -63.3232499334195
x18=48.2032892690181x_{18} = 48.2032892690181
x19=54.4864745761977x_{19} = 54.4864745761977
x20=−19.3409527831624x_{20} = -19.3409527831624
x21=1.07939946517123x_{21} = 1.07939946517123
x22=34.0661223278641x_{22} = 34.0661223278641
x23=−77.4604168745736x_{23} = -77.4604168745736
x24=19.92895538671x_{24} = 19.92895538671
x25=−41.332101358291x_{25} = -41.332101358291
x26=−24.0533417635471x_{26} = -24.0533417635471
x27=60.7696598833773x_{27} = 60.7696598833773
x28=65.482048863762x_{28} = 65.482048863762
x29=−85.3143985085481x_{29} = -85.3143985085481
x30=−75.8896205477787x_{30} = -75.8896205477787
x31=35.636918654659x_{31} = 35.636918654659
x32=26.2121406938896x_{32} = 26.2121406938896
x33=−47.6152866654706x_{33} = -47.6152866654706
x34=−97.8807691229073x_{34} = -97.8807691229073
x35=−82.1728058549583x_{35} = -82.1728058549583
x36=−31.9073233975216x_{36} = -31.9073233975216
x37=62.3404562101722x_{37} = 62.3404562101722
x38=−96.3099727961124x_{38} = -96.3099727961124
x39=85.9024011120956x_{39} = 85.9024011120956
x40=79.6192158049161x_{40} = 79.6192158049161
x41=78.0484194781212x_{41} = 78.0484194781212
x42=24.6413443670947x_{42} = 24.6413443670947
x43=92.1855864192752x_{43} = 92.1855864192752
x44=−8.34537849559815x_{44} = -8.34537849559815
x45=43.4909002886334x_{45} = 43.4909002886334
x46=−46.0444903386757x_{46} = -46.0444903386757
x47=90.6147900924803x_{47} = 90.6147900924803
x48=−52.3276756458553x_{48} = -52.3276756458553
x49=100.03956805325x_{49} = 100.03956805325
x50=2.65019579196613x_{50} = 2.65019579196613
x51=−53.8984719726501x_{51} = -53.8984719726501
x52=−55.469268299445x_{52} = -55.469268299445
x53=−91.5975838157277x_{53} = -91.5975838157277
x54=57.6280672297875x_{54} = 57.6280672297875
x55=−61.7524536066246x_{55} = -61.7524536066246
x56=5.79178844555592x_{56} = 5.79178844555592
x57=32.4953260010692x_{57} = 32.4953260010692
x58=4.22099211876103x_{58} = 4.22099211876103
x59=−60.1816572798297x_{59} = -60.1816572798297
x60=84.3316047853008x_{60} = 84.3316047853008
x61=68.6236415173518x_{61} = 68.6236415173518
x62=−44.4736940118808x_{62} = -44.4736940118808
x63=−66.4648425870093x_{63} = -66.4648425870093
x64=−22.4825454367522x_{64} = -22.4825454367522
x65=−30.3365270707267x_{65} = -30.3365270707267
x66=−83.7436021817532x_{66} = -83.7436021817532
x67=−99.4515654497022x_{67} = -99.4515654497022
x68=23.0705480402998x_{68} = 23.0705480402998
x69=93.7563827460701x_{69} = 93.7563827460701
x70=71.7652341709416x_{70} = 71.7652341709416
x71=13.6457700795304x_{71} = 13.6457700795304
x72=186.433366026969x_{72} = 186.433366026969
x73=−25.624138090342x_{73} = -25.624138090342
x74=−11.4869711491879x_{74} = -11.4869711491879
x75=27.7829370206845x_{75} = 27.7829370206845
x76=98.4687717264548x_{76} = 98.4687717264548
x77=−80.6020095281634x_{77} = -80.6020095281634
x78=82.7608084585058x_{78} = 82.7608084585058
x79=−68.0356389138042x_{79} = -68.0356389138042
x80=70.1944378441467x_{80} = 70.1944378441467
x81=18.3581590599151x_{81} = 18.3581590599151
x82=10.5041774259406x_{82} = 10.5041774259406
x83=−88.4559911621379x_{83} = -88.4559911621379
x84=63.9112525369671x_{84} = 63.9112525369671
x85=−118.301121371241x_{85} = -118.301121371241
x86=−69.6064352405991x_{86} = -69.6064352405991
x87=76.4776231513263x_{87} = 76.4776231513263
x88=−16.1993601295726x_{88} = -16.1993601295726
x89=−2.06219318841856x_{89} = -2.06219318841856
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x) + (2*sin(x))*cos(x) + 3*cos(2*x).
(sin⁡(0⋅2)+2sin⁡(0)cos⁡(0))+3cos⁡(0⋅2)\left(\sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + 2 \sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}\right) + 3 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡2(x)−6sin⁡(2x)+2cos⁡2(x)+2cos⁡(2x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−eiatan⁡(125)4)x_{1} = - i \log{\left(- e^{\frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{4}} \right)}
x2=atan⁡(125)4x_{2} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{4}
Signos de extremos en los puntos:
       /  I*atan(12/5)\       /       /  I*atan(12/5)\\        /       /  I*atan(12/5)\\        /     /  I*atan(12/5)\\    /     /  I*atan(12/5)\\ 
       |  ------------|       |       |  ------------||        |       |  ------------||        |     |  ------------||    |     |  ------------|| 
       |       4      |       |       |       4      ||        |       |       4      ||        |     |       4      ||    |     |       4      || 
(-I*log\-e            /, - sin\2*I*log\-e            // + 3*cos\2*I*log\-e            // - 2*cos\I*log\-e            //*sin\I*log\-e            //)

 atan(12/5)       /atan(12/5)\        /atan(12/5)\    /atan(12/5)\      /atan(12/5)\ 
(----------, 3*cos|----------| + 2*cos|----------|*sin|----------| + sin|----------|)
     4            \    2     /        \    4     /    \    4     /      \    2     /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−π+atan⁡(sin⁡(atan⁡(125)4)cos⁡(atan⁡(125)4))x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{4} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{4} \right)}} \right)}
x2=atan⁡(125)4x_{2} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(sin⁡(atan⁡(125)4)cos⁡(atan⁡(125)4))]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{4} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{4} \right)}} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(125)4,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x)+3cos⁡(2x))=0- 4 \left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x))+3cos⁡(2x))=⟨−6,6⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -6, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−6,6⟩y = \left\langle -6, 6\right\rangle
lim⁡x→∞((2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x))+3cos⁡(2x))=⟨−6,6⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -6, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−6,6⟩y = \left\langle -6, 6\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x) + (2*sin(x))*cos(x) + 3*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x))+3cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 3 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x))+3cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 3 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x))+3cos⁡(2x)=−2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(2x)+3cos⁡(2x)\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 3 \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}
- No
(2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x))+3cos⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x)−3cos⁡(2x)\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 3 \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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