Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
-
Expresiones idénticas
- sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x
- seno de al cuadrado x más 2 seno de x coseno de x más 3 coseno de al cuadrado x
- sin2x+2sinxcosx+3cos2x
- sin²x+2sinxcosx+3cos²x
- sin en el grado 2x+2sinxcosx+3cos en el grado 2x
-
Expresiones semejantes
- sin^2x+2sinxcosx-3cos^2x
- sin^2x-2sinxcosx+3cos^2x
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x^x)
- sin(x)/(2+cos(x))
- sinx/(sin(x+pi/4))
- sin(x)+cos(x)^2
- sin(x)+x^2
Gráfico de la función y = sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 f(x) = sin (x) + 2*sin(x)*cos(x) + 3*cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^2 + (2*sin(x))*cos(x) + 3*cos(x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | 2| | ___ ___ / ___ || 2| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
(2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 /, sin \2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 // + 3*cos \2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 // + 2*cos\2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 //*sin\2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 //) / ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | 2| | ___ ___ / ___ || 2| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
(-2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 /, sin \2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 // + 3*cos \2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 // - 2*cos\2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 //*sin\2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 //) / ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | 2| | ___ ___ / ___ || 2| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
(-2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 /, sin \2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 // + 3*cos \2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 // - 2*cos\2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 //*sin\2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 //) / ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | 2| | ___ ___ / ___ || 2| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
(-2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 /, sin \2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 // + 3*cos \2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 // - 2*cos\2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 //*sin\2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 //)Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 6\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 6\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 6\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 6\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 6\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 6\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 6\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 6\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 + (2*sin(x))*cos(x) + 3*cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar