Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | 2| | ___ ___ / ___ || 2| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
(2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 /, sin \2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 // + 3*cos \2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 // + 2*cos\2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 //*sin\2*atan\-1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 //)
/ ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | 2| | ___ ___ / ___ || 2| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
(-2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 /, sin \2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 // + 3*cos \2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 // - 2*cos\2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 //*sin\2*atan\1 + \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 //)
/ ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | 2| | ___ ___ / ___ || 2| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
(-2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 /, sin \2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 // + 3*cos \2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 // - 2*cos\2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 //*sin\2*atan\1 - \/ 2 + \/ 2 *\/ 2 - \/ 2 //)
/ ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | 2| | ___ ___ / ___ || 2| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
(-2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 /, sin \2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 // + 3*cos \2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 // - 2*cos\2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 //*sin\2*atan\1 + \/ 2 - \/ 2 *\/ 2 + \/ 2 //)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}\right]$$