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Trazado el gráfico de la función/ sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x

Gráfico de la función y = sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2                             2   
f(x) = sin (x) + 2*sin(x)*cos(x) + 3*cos (x)
f(x)=(sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+3cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^2 + (2*sin(x))*cos(x) + 3*cos(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+3cos⁡2(x)=0\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^2 + (2*sin(x))*cos(x) + 3*cos(x)^2.
(sin⁡2(0)+2sin⁡(0)cos⁡(0))+3cos⁡2(0)\left(\sin^{2}{\left(0 \right)} + 2 \sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡2(x)−4sin⁡(x)cos⁡(x)+2cos⁡2(x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(−1+22−2+2)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}
x2=−2atan⁡(1+2+22+2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}
x3=−2atan⁡(−2+1+22−2)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}
x4=−2atan⁡(−22+2+1+2)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
       /                      ___________\      /      /                      ___________\\         /      /                      ___________\\        /      /                      ___________\\    /      /                      ___________\\ 
       |       ___     ___   /       ___ |     2|      |       ___     ___   /       ___ ||        2|      |       ___     ___   /       ___ ||        |      |       ___     ___   /       ___ ||    |      |       ___     ___   /       ___ || 
(2*atan\-1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  /, sin \2*atan\-1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  // + 3*cos \2*atan\-1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  // + 2*cos\2*atan\-1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  //*sin\2*atan\-1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  //)

        /                     ___________\      /      /                     ___________\\         /      /                     ___________\\        /      /                     ___________\\    /      /                     ___________\\ 
        |      ___     ___   /       ___ |     2|      |      ___     ___   /       ___ ||        2|      |      ___     ___   /       ___ ||        |      |      ___     ___   /       ___ ||    |      |      ___     ___   /       ___ || 
(-2*atan\1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 + \/ 2  /, sin \2*atan\1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 + \/ 2  // + 3*cos \2*atan\1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 + \/ 2  // - 2*cos\2*atan\1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 + \/ 2  //*sin\2*atan\1 + \/ 2  + \/ 2 *\/  2 + \/ 2  //)

        /                     ___________\      /      /                     ___________\\         /      /                     ___________\\        /      /                     ___________\\    /      /                     ___________\\ 
        |      ___     ___   /       ___ |     2|      |      ___     ___   /       ___ ||        2|      |      ___     ___   /       ___ ||        |      |      ___     ___   /       ___ ||    |      |      ___     ___   /       ___ || 
(-2*atan\1 - \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  /, sin \2*atan\1 - \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  // + 3*cos \2*atan\1 - \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  // - 2*cos\2*atan\1 - \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  //*sin\2*atan\1 - \/ 2  + \/ 2 *\/  2 - \/ 2  //)

        /                     ___________\      /      /                     ___________\\         /      /                     ___________\\        /      /                     ___________\\    /      /                     ___________\\ 
        |      ___     ___   /       ___ |     2|      |      ___     ___   /       ___ ||        2|      |      ___     ___   /       ___ ||        |      |      ___     ___   /       ___ ||    |      |      ___     ___   /       ___ || 
(-2*atan\1 + \/ 2  - \/ 2 *\/  2 + \/ 2  /, sin \2*atan\1 + \/ 2  - \/ 2 *\/  2 + \/ 2  // + 3*cos \2*atan\1 + \/ 2  - \/ 2 *\/  2 + \/ 2  // - 2*cos\2*atan\1 + \/ 2  - \/ 2 *\/  2 + \/ 2  //*sin\2*atan\1 + \/ 2  - \/ 2 *\/  2 + \/ 2  //)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2atan⁡(−1+22−2+2)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}
x2=−2atan⁡(−2+1+22−2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=−2atan⁡(1+2+22+2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}
x2=−2atan⁡(−22+2+1+2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}
Decrece en los intervalos
[2atan⁡(−1+22−2+2),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(−2+1+22−2)]∪[−2atan⁡(−22+2+1+2),2atan⁡(−1+22−2+2)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x))=04 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(−1+22−2+2)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}
x2=2atan⁡(1+2+22+2)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}
x3=2atan⁡(−2+1+22−2)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}
x4=2atan⁡(−22+2+1+2)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(−1+22−2+2),2atan⁡(−22+2+1+2)]∪[2atan⁡(−2+1+22−2),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(−1+22−2+2)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+3cos⁡2(x))=⟨−2,6⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,6⟩y = \left\langle -2, 6\right\rangle
lim⁡x→∞((sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+3cos⁡2(x))=⟨−2,6⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,6⟩y = \left\langle -2, 6\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 + (2*sin(x))*cos(x) + 3*cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+3cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+3cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+3cos⁡2(x)=sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)+3cos⁡2(x)\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
(sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+3cos⁡2(x)=−sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)−3cos⁡2(x)\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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