Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- (cuatro *x^ dos + doce *x+ uno)/(x- tres)
- (4 multiplicar por x al cuadrado más 12 multiplicar por x más 1) dividir por (x menos 3)
- (cuatro multiplicar por x en el grado dos más doce multiplicar por x más uno) dividir por (x menos tres)
- (4*x2+12*x+1)/(x-3)
- 4*x2+12*x+1/x-3
- (4*x²+12*x+1)/(x-3)
- (4*x en el grado 2+12*x+1)/(x-3)
- (4x^2+12x+1)/(x-3)
- (4x2+12x+1)/(x-3)
- 4x2+12x+1/x-3
- 4x^2+12x+1/x-3
- (4*x^2+12*x+1) dividir por (x-3)
-
Expresiones semejantes
- (4*x^2+12*x-1)/(x-3)
- (4*x^2-12*x+1)/(x-3)
- (4*x^2+12*x+1)/(x+3)
Gráfico de la función y = (4*x^2+12*x+1)/(x-3)
Solución
Ha introducido
[src]
2
4*x + 12*x + 1
f(x) = ---------------
x - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3}$$
f = (4*x^2 + 12*x + 1)/(x - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3}{2} - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.085786437626905$$
$$x_{2} = -2.91421356237309$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3}{2} - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.085786437626905$$
$$x_{2} = -2.91421356237309$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x + 12}{x - 3} - \frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{73}}{2}$$
$$x_{2} = 3 + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3 + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{73}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \frac{\sqrt{73}}{2}\right] \cup \left[3 + \frac{\sqrt{73}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3 - \frac{\sqrt{73}}{2}, 3 + \frac{\sqrt{73}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x + 12}{x - 3} - \frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{73}}{2}$$
$$x_{2} = 3 + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
| / ____\ |
____ | ____ | \/ 73 | |
____ -2*\/ 73 *|37 - 6*\/ 73 + 4*|3 - ------| |
\/ 73 \ \ 2 / /
(3 - ------, -------------------------------------------)
2 73 / 2 \
| / ____\ |
____ | | \/ 73 | ____|
____ 2*\/ 73 *|37 + 4*|3 + ------| + 6*\/ 73 |
\/ 73 \ \ 2 / /
(3 + ------, ------------------------------------------)
2 73 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3 + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{73}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \frac{\sqrt{73}}{2}\right] \cup \left[3 + \frac{\sqrt{73}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3 - \frac{\sqrt{73}}{2}, 3 + \frac{\sqrt{73}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(4 - \frac{4 \left(2 x + 3\right)}{x - 3} + \frac{4 x \left(x + 3\right) + 1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(4 - \frac{4 \left(2 x + 3\right)}{x - 3} + \frac{4 x \left(x + 3\right) + 1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x^2 + 12*x + 1)/(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x \left(x - 3\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x \left(x - 3\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x \left(x - 3\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x \left(x - 3\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 4 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3} = \frac{4 x^{2} - 12 x + 1}{- x - 3}$$
- No
$$\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3} = - \frac{4 x^{2} - 12 x + 1}{- x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3} = \frac{4 x^{2} - 12 x + 1}{- x - 3}$$
- No
$$\frac{\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 1}{x - 3} = - \frac{4 x^{2} - 12 x + 1}{- x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar