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(z+1)/(z-1)
Trazado el gráfico de la función/ (z+1)/(z-1)

Gráfico de la función y = (z+1)/(z-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       z + 1
f(z) = -----
       z - 1
f(z)=z+1z−1f{\left(z \right)} = \frac{z + 1}{z - 1} 
f = (z + 1)/(z - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
z1=1z_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
z+1z−1=0\frac{z + 1}{z - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:

Solución analítica
z1=−1z_{1} = -1
Solución numérica
z1=−1z_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en (z + 1)/(z - 1).
1−1\frac{1}{-1}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
1z−1−z+1(z−1)2=0\frac{1}{z - 1} - \frac{z + 1}{\left(z - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
2(−1+z+1z−1)(z−1)2=0\frac{2 \left(-1 + \frac{z + 1}{z - 1}\right)}{\left(z - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
z1=1z_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞(z+1z−1)=1\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{z + 1}{z - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡z→∞(z+1z−1)=1\lim_{z \to \infty}\left(\frac{z + 1}{z - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (z + 1)/(z - 1), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞(z+1z(z−1))=0\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{z + 1}{z \left(z - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡z→∞(z+1z(z−1))=0\lim_{z \to \infty}\left(\frac{z + 1}{z \left(z - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
z+1z−1=1−z−z−1\frac{z + 1}{z - 1} = \frac{1 - z}{- z - 1}
- No
z+1z−1=−1−z−z−1\frac{z + 1}{z - 1} = - \frac{1 - z}{- z - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (z+1)/(z-1)
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