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Trazado el gráfico de la función/ 4x^2-4x-1

Gráfico de la función y = 4x^2-4x-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
f(x) = 4*x  - 4*x - 1
f(x)=(4x2−4x)−1f{\left(x \right)} = \left(4 x^{2} - 4 x\right) - 1 
f = 4*x^2 - 4*x - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4x2−4x)−1=0\left(4 x^{2} - 4 x\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12−22x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=12+22x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
Solución numérica
x1=−0.207106781186548x_{1} = -0.207106781186548
x2=1.20710678118655x_{2} = 1.20710678118655
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*x^2 - 4*x - 1.
−1+(4⋅02−0)-1 + \left(4 \cdot 0^{2} - 0\right)
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8x−4=08 x - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(1/2, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8=08 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((4x2−4x)−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(4 x^{2} - 4 x\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((4x2−4x)−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(4 x^{2} - 4 x\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*x^2 - 4*x - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4x2−4x)−1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) - 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((4x2−4x)−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) - 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4x2−4x)−1=4x2+4x−1\left(4 x^{2} - 4 x\right) - 1 = 4 x^{2} + 4 x - 1
- No
(4x2−4x)−1=−4x2−4x+1\left(4 x^{2} - 4 x\right) - 1 = - 4 x^{2} - 4 x + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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