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2x^3-12x^2+18x
Trazado el gráfico de la función/ 2x^3-12x^2+18x

Gráfico de la función y = 2x^3-12x^2+18x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3       2       
f(x) = 2*x  - 12*x  + 18*x
f(x)=18x+(2x3−12x2)f{\left(x \right)} = 18 x + \left(2 x^{3} - 12 x^{2}\right) 
f = 18*x + 2*x^3 - 12*x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
18x+(2x3−12x2)=018 x + \left(2 x^{3} - 12 x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x^3 - 12*x^2 + 18*x.
(2⋅03−12⋅02)+0⋅18\left(2 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 18
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x2−24x+18=06 x^{2} - 24 x + 18 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(1, 8)

(3, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]∪[3,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,3]\left[1, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12(x−2)=012 \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(18x+(2x3−12x2))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(18 x + \left(2 x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(18x+(2x3−12x2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(18 x + \left(2 x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x^3 - 12*x^2 + 18*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(18x+(2x3−12x2)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{18 x + \left(2 x^{3} - 12 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(18x+(2x3−12x2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x + \left(2 x^{3} - 12 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
18x+(2x3−12x2)=−2x3−12x2−18x18 x + \left(2 x^{3} - 12 x^{2}\right) = - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 18 x
- No
18x+(2x3−12x2)=2x3+12x2+18x18 x + \left(2 x^{3} - 12 x^{2}\right) = 2 x^{3} + 12 x^{2} + 18 x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2x^3-12x^2+18x
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