Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^3-6x^2+8x
-
y=x^2+2x
-
y=-x^2-2
-
y=(x^2+25)/x
- Integral de d{x}:
- x^3-6x^2+8x
- Forma canónica:
- x^3-6x^2+8x
-
Expresiones idénticas
- y=x^ tres -6x^ dos +8x
- y es igual a x al cubo menos 6x al cuadrado más 8x
- y es igual a x en el grado tres menos 6x en el grado dos más 8x
- y=x3-6x2+8x
- y=x³-6x²+8x
- y=x en el grado 3-6x en el grado 2+8x
-
Expresiones semejantes
- y=x^3+6x^2+8x
- y=x^3-6x^2-8x
Gráfico de la función y = y=x^3-6x^2+8x
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 f(x) = x - 6*x + 8*x
$$f{\left(x \right)} = 8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)$$
f = 8*x + x^3 - 6*x^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
___ / ___\ / ___\ ___
2*\/ 3 | 2*\/ 3 | | 2*\/ 3 | 16*\/ 3
(2 - -------, 16 + |2 - -------| - 6*|2 - -------| - --------)
3 \ 3 / \ 3 / 3 3 2
___ / ___\ / ___\ ___
2*\/ 3 | 2*\/ 3 | | 2*\/ 3 | 16*\/ 3
(2 + -------, 16 + |2 + -------| - 6*|2 + -------| + --------)
3 \ 3 / \ 3 / 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 6*x^2 + 8*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) = - x^{3} - 6 x^{2} - 8 x$$
- No
$$8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) = - x^{3} - 6 x^{2} - 8 x$$
- No
$$8 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico