Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((x+2)(x+3))/(2-x)

Gráfico de la función y = ((x+2)(x+3))/(2-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (x + 2)*(x + 3)
f(x) = ---------------
            2 - x
f(x)=(x+2)(x+3)2−xf{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} 
f = ((x + 2)*(x + 3))/(2 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+2)(x+3)2−x=0\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=−3x_{2} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 2)*(x + 3))/(2 - x).
2⋅32−0\frac{2 \cdot 3}{2 - 0}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+52−x+(x+2)(x+3)(2−x)2=0\frac{2 x + 5}{2 - x} + \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(2 - x\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−25x_{1} = 2 - 2 \sqrt{5}
x2=2+25x_{2} = 2 + 2 \sqrt{5}
Signos de extremos en los puntos:
                ___ /        ___\ /        ___\ 
         ___  \/ 5 *\4 - 2*\/ 5 /*\5 - 2*\/ 5 / 
(2 - 2*\/ 5, ---------------------------------)
                              10                

                 ___ /        ___\ /        ___\  
         ___  -\/ 5 *\4 + 2*\/ 5 /*\5 + 2*\/ 5 /  
(2 + 2*\/ 5, -----------------------------------)
                               10


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2−25x_{1} = 2 - 2 \sqrt{5}
Puntos máximos de la función:
x1=2+25x_{1} = 2 + 2 \sqrt{5}
Decrece en los intervalos
[2−25,2+25]\left[2 - 2 \sqrt{5}, 2 + 2 \sqrt{5}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,2−25]∪[2+25,∞)\left(-\infty, 2 - 2 \sqrt{5}\right] \cup \left[2 + 2 \sqrt{5}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−1+2x+5x−2−(x+2)(x+3)(x−2)2)x−2=0\frac{2 \left(-1 + \frac{2 x + 5}{x - 2} - \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)(x+3)2−x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+2)(x+3)2−x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x + 3))/(2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)(x+3)x(2−x))=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((x+2)(x+3)x(2−x))=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+2)(x+3)2−x=(2−x)(3−x)x+2\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}
- No
(x+2)(x+3)2−x=−(2−x)(3−x)x+2\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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