Sr Examen

Gráfico de la función y = ((x+2)(x+3))/(2-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       (x + 2)*(x + 3)
f(x) = ---------------
            2 - x     
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}$$
f = ((x + 2)*(x + 3))/(2 - x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 2)*(x + 3))/(2 - x).
$$\frac{2 \cdot 3}{2 - 0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x + 5}{2 - x} + \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(2 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - 2 \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 2 + 2 \sqrt{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
                ___ /        ___\ /        ___\ 
         ___  \/ 5 *\4 - 2*\/ 5 /*\5 - 2*\/ 5 / 
(2 - 2*\/ 5, ---------------------------------)
                              10                

                 ___ /        ___\ /        ___\  
         ___  -\/ 5 *\4 + 2*\/ 5 /*\5 + 2*\/ 5 /  
(2 + 2*\/ 5, -----------------------------------)
                               10                 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 - 2 \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 + 2 \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 - 2 \sqrt{5}, 2 + 2 \sqrt{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - 2 \sqrt{5}\right] \cup \left[2 + 2 \sqrt{5}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(-1 + \frac{2 x + 5}{x - 2} - \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x + 3))/(2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}$$
- No
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar