Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((x+1)(x+2)(x+3))/(2-x)

Gráfico de la función y = ((x+1)(x+2)(x+3))/(2-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (x + 1)*(x + 2)*(x + 3)
f(x) = -----------------------
                2 - x
f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)2−xf{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} 
f = (((x + 1)*(x + 2))*(x + 3))/(2 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+1)(x+2)(x+3)2−x=0\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
x3=−1x_{3} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=−3x_{2} = -3
x3=−2x_{3} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((x + 1)*(x + 2))*(x + 3))/(2 - x).
2⋅32−0\frac{2 \cdot 3}{2 - 0}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+1)(x+2)+(x+3)(2x+3)2−x+(x+1)(x+2)(x+3)(2−x)2=0\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{2 - x} + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(2 - x\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=47+15i3+7+15i3x_{1} = \frac{4}{\sqrt[3]{7 + \sqrt{15} i}} + \sqrt[3]{7 + \sqrt{15} i}
Signos de extremos en los puntos:
                                        /       ______________                    \ /       ______________                    \ /       ______________                    \ 
                                        |    3 /         ____            4        | |    3 /         ____            4        | |    3 /         ____            4        | 
                                        |1 + \/  7 + I*\/ 15   + -----------------|*|2 + \/  7 + I*\/ 15   + -----------------|*|3 + \/  7 + I*\/ 15   + -----------------| 
                                        |                           ______________| |                           ______________| |                           ______________| 
    ______________                      |                        3 /         ____ | |                        3 /         ____ | |                        3 /         ____ | 
 3 /         ____            4          \                        \/  7 + I*\/ 15  / \                        \/  7 + I*\/ 15  / \                        \/  7 + I*\/ 15  / 
(\/  7 + I*\/ 15   + -----------------, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
                        ______________                                                      ______________                                                                  
                     3 /         ____                                                    3 /         ____            4                                                      
                     \/  7 + I*\/ 15                                                 2 - \/  7 + I*\/ 15   - -----------------                                              
                                                                                                                ______________                                              
                                                                                                             3 /         ____                                               
                                                                                                             \/  7 + I*\/ 15


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=4cos⁡(atan⁡(157)3)x_{1} = 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}}{3} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,4cos⁡(atan⁡(157)3)]\left(-\infty, 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}}{3} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[4cos⁡(atan⁡(157)3),∞)\left[4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−3x−6+(x+1)(x+2)+(x+3)(2x+3)x−2−(x+1)(x+2)(x+3)(x−2)2)x−2=0\frac{2 \left(- 3 x - 6 + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−603x_{1} = 2 - \sqrt[3]{60}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−(2(−3x−6+(x+1)(x+2)+(x+3)(2x+3)x−2−(x+1)(x+2)(x+3)(x−2)2)x−2)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x - 6 + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2}\right) = \infty
lim⁡x→2+(2(−3x−6+(x+1)(x+2)+(x+3)(2x+3)x−2−(x+1)(x+2)(x+3)(x−2)2)x−2)=−∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x - 6 + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=2x_{1} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2−603,∞)\left[2 - \sqrt[3]{60}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2−603]\left(-\infty, 2 - \sqrt[3]{60}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)(x+2)(x+3)2−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)(x+2)(x+3)2−x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x + 1)*(x + 2))*(x + 3))/(2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)(x+2)(x+3)x(2−x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)(x+2)(x+3)x(2−x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+1)(x+2)(x+3)2−x=(1−x)(2−x)(3−x)x+2\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}
- No
(x+1)(x+2)(x+3)2−x=−(1−x)(2−x)(3−x)x+2\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = - \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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