Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- ((x+ uno)(x+ dos)(x+ tres))/(dos -x)
- ((x más 1)(x más 2)(x más 3)) dividir por (2 menos x)
- ((x más uno)(x más dos)(x más tres)) dividir por (dos menos x)
- x+1x+2x+3/2-x
- ((x+1)(x+2)(x+3)) dividir por (2-x)
-
Expresiones semejantes
- ((x-1)(x+2)(x+3))/(2-x)
- ((x+1)(x+2)(x+3))/(2+x)
- ((x+1)(x+2)(x-3))/(2-x)
- ((x+1)(x-2)(x+3))/(2-x)
Gráfico de la función y = ((x+1)(x+2)(x+3))/(2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
(x + 1)*(x + 2)*(x + 3)
f(x) = -----------------------
2 - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}$$
f = (((x + 1)*(x + 2))*(x + 3))/(2 - x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{2 - x} + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(2 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{\sqrt[3]{7 + \sqrt{15} i}} + \sqrt[3]{7 + \sqrt{15} i}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}}{3} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{2 - x} + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(2 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{\sqrt[3]{7 + \sqrt{15} i}} + \sqrt[3]{7 + \sqrt{15} i}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ______________ \ / ______________ \ / ______________ \
| 3 / ____ 4 | | 3 / ____ 4 | | 3 / ____ 4 |
|1 + \/ 7 + I*\/ 15 + -----------------|*|2 + \/ 7 + I*\/ 15 + -----------------|*|3 + \/ 7 + I*\/ 15 + -----------------|
| ______________| | ______________| | ______________|
______________ | 3 / ____ | | 3 / ____ | | 3 / ____ |
3 / ____ 4 \ \/ 7 + I*\/ 15 / \ \/ 7 + I*\/ 15 / \ \/ 7 + I*\/ 15 /
(\/ 7 + I*\/ 15 + -----------------, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
______________ ______________
3 / ____ 3 / ____ 4
\/ 7 + I*\/ 15 2 - \/ 7 + I*\/ 15 - -----------------
______________
3 / ____
\/ 7 + I*\/ 15 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}}{3} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 3 x - 6 + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \sqrt[3]{60}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x - 6 + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x - 6 + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 - \sqrt[3]{60}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \sqrt[3]{60}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 3 x - 6 + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \sqrt[3]{60}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x - 6 + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x - 6 + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 - \sqrt[3]{60}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \sqrt[3]{60}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x + 1)*(x + 2))*(x + 3))/(2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(2 - x\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}$$
- No
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = - \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}$$
- No
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{2 - x} = - \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar