Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4.9039856937454$$
$$x_{2} = 3.34845030406405$$
$$x_{3} = 7.45396900161805$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-4.9039856937454, 3.34845030406405\right] \cup \left[7.45396900161805, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -4.9039856937454\right] \cup \left[3.34845030406405, 7.45396900161805\right]$$