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¿Cómo usar?
Gráfico de la función y =:
e^3*x+10*e^2*x
-cos(2*x)-sin(2*x)
6/(x^2+3)
-x^2+4*x
Expresiones idénticas
y=((x- tres)^ dos *(dos x+ tres))/((x- uno)^ tres *(x-2))
y es igual a ((x menos 3) al cuadrado multiplicar por (2x más 3)) dividir por ((x menos 1) al cubo multiplicar por (x menos 2))
y es igual a ((x menos tres) en el grado dos multiplicar por (dos x más tres)) dividir por ((x menos uno) en el grado tres multiplicar por (x menos 2))
y=((x-3)2*(2x+3))/((x-1)3*(x-2))
y=x-32*2x+3/x-13*x-2
y=((x-3)²*(2x+3))/((x-1)³*(x-2))
y=((x-3) en el grado 2*(2x+3))/((x-1) en el grado 3*(x-2))
y=((x-3)^2(2x+3))/((x-1)^3(x-2))
y=((x-3)2(2x+3))/((x-1)3(x-2))
y=x-322x+3/x-13x-2
y=x-3^22x+3/x-1^3x-2
y=((x-3)^2*(2x+3)) dividir por ((x-1)^3*(x-2))
Expresiones semejantes
y=((x-3)^2*(2x-3))/((x-1)^3*(x-2))
y=((x+3)^2*(2x+3))/((x-1)^3*(x-2))
y=((x-3)^2*(2x+3))/((x+1)^3*(x-2))
y=((x-3)^2*(2x+3))/((x-1)^3*(x+2))

Trazado el gráfico de la función/ y=((x-3)^2*(2x+3))/((x-1)^3*(x-2))

Gráfico de la función y = y=((x-3)^2(2x+3))/((x-1)^3(x-2))

Solución

Ha introducido [src]

              2          
       (x - 3) *(2*x + 3)
f(x) = ------------------
               3         
        (x - 1) *(x - 2)

f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}

f = ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 2)*(x - 1)^3))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 1

x_{2} = 2

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = - \frac{3}{2}

x_{2} = 3

Solución numérica

x_{1} = -1.5

x_{2} = 3

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 1)^3*(x - 2))).

\frac{\left(-3\right)^{2} \left(0 \cdot 2 + 3\right)}{\left(-2\right) \left(-1\right)^{3}}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \frac{27}{2}

Punto:

(0, 27/2)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

primera derivada

\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} \left(2 \left(x - 3\right)^{2} + \left(2 x - 6\right) \left(2 x + 3\right)\right) + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(- 3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2} - \left(x - 1\right)^{3}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{6}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = 3

x_{2} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt[3]{\frac{473}{4} + \frac{9 \sqrt{32865} i}{4}}}{3} - \frac{113}{6 \sqrt[3]{\frac{473}{4} + \frac{9 \sqrt{32865} i}{4}}}

Signos de extremos en los puntos:

(3, 0)

                                                                                                                                 2                                                                    
                                                                /                                          _____________________\  /                                           _____________________\ 
                                                                |                                         /             _______ |  |                                          /             _______ | 
                                                                |                                        /  473   9*I*\/ 32865  |  |                                         /  473   9*I*\/ 32865  | 
                                                                |                                     3 /   --- + ------------- |  |                                    2*3 /   --- + ------------- | 
                                                                |  5               113                \/     4          4       |  |17               113                  \/     4          4       | 
                                                                |- - - ---------------------------- - --------------------------| *|-- - ---------------------------- - ----------------------------| 
                                         _____________________  |  3          _____________________               3             |  |3           _____________________                3              | 
                                        /             _______   |            /             _______                              |  |           /             _______                                | 
                                       /  473   9*I*\/ 32865    |           /  473   9*I*\/ 32865                               |  |          /  473   9*I*\/ 32865                                 | 
                                    3 /   --- + -------------   |      6*3 /   --- + -------------                              |  |     3*3 /   --- + -------------                                | 
 4               113                \/     4          4         \        \/     4          4                                    /  \       \/     4          4                                      / 
(- - ---------------------------- - --------------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
 3          _____________________               3                                                                                                                                                  3  
           /             _______                                  /                                          _____________________\ /                                        _____________________\   
          /  473   9*I*\/ 32865                                   |                                         /             _______ | |                                       /             _______ |   
     6*3 /   --- + -------------                                  |                                        /  473   9*I*\/ 32865  | |                                      /  473   9*I*\/ 32865  |   
       \/     4          4                                        |                                     3 /   --- + ------------- | |                                   3 /   --- + ------------- |   
                                                                  |  2               113                \/     4          4       | |1               113                \/     4          4       |   
                                                                  |- - - ---------------------------- - --------------------------|*|- - ---------------------------- - --------------------------|   
                                                                  |  3          _____________________               3             | |3          _____________________               3             |   
                                                                  |            /             _______                              | |          /             _______                              |   
                                                                  |           /  473   9*I*\/ 32865                               | |         /  473   9*I*\/ 32865                               |   
                                                                  |      6*3 /   --- + -------------                              | |    6*3 /   --- + -------------                              |   
                                                                  \        \/     4          4                                    / \      \/     4          4                                    /

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:

x_{1} = 3

x_{2} = - \frac{\sqrt{226} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{32865}}{473} \right)}}{3} \right)}}{3} + \frac{4}{3}

La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos

\left[3, \infty\right)

Crece en los intervalos

\left(-\infty, - \frac{\sqrt{226} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{32865}}{473} \right)}}{3} \right)}}{3} + \frac{4}{3}\right]

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

segunda derivada

\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = -4.9039856937454

x_{2} = 3.34845030406405

x_{3} = 7.45396900161805

Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:

x_{1} = 1

x_{2} = 2

\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty

\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty

- los límites no son iguales, signo

x_{1} = 1

- es el punto de flexión

\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty

\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty

- los límites no son iguales, signo

x_{2} = 2

- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos

\left[-4.9039856937454, 3.34845030406405\right] \cup \left[7.45396900161805, \infty\right)

Convexa en los intervalos

\left(-\infty, -4.9039856937454\right] \cup \left[3.34845030406405, 7.45396900161805\right]

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 1

x_{2} = 2

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = 0

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 0

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 1)^3*(x - 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{3}}

- No

\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = - \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{3}}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = y=((x-3)^2(2x+3))/((x-1)^3(x-2))

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución

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Gráfico de la función y = y=((x-3)^2*(2x+3))/((x-1)^3*(x-2))

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución

Gráfico de la función y = y=((x-3)^2(2x+3))/((x-1)^3(x-2))