Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
(2-x^2)/(9x^2-4)^1/2
-
-(2*x+1)*e^(2*(x+1))
-
Expresiones idénticas
- (x+ uno)(x+ dos)(x- cuatro)(x- cinco)
- (x más 1)(x más 2)(x menos 4)(x menos 5)
- (x más uno)(x más dos)(x menos cuatro)(x menos cinco)
- x+1x+2x-4x-5
-
Expresiones semejantes
- (x-1)(x+2)(x-4)(x-5)
- (x+1)(x+2)(x+4)(x-5)
- (x+1)(x-2)(x-4)(x-5)
- (x+1)(x+2)(x-4)(x+5)
Gráfico de la función y = (x+1)(x+2)(x-4)(x-5)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = (x + 1)*(x + 2)*(x - 4)*(x - 5)
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right)$$
f = (((x + 1)*(x + 2))*(x - 4))*(x - 5)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 4$$
$$x_{4} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 4$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 4$$
$$x_{4} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 4$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) + \left(x - 5\right) \left(\left(x - 4\right) \left(2 x + 3\right) + \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}, \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) + \left(x - 5\right) \left(\left(x - 4\right) \left(2 x + 3\right) + \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
1225
(3/2, ----)
16 ____ / ____\ / ____\ / ____\ / ____\ 3 \/ 37 | 7 \/ 37 | | 5 \/ 37 | |5 \/ 37 | |7 \/ 37 | (- - ------, |- - - ------|*|- - - ------|*|- - ------|*|- - ------|) 2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / \2 2 / \2 2 /
____ / ____\ / ____\ / ____\ / ____\ 3 \/ 37 | 7 \/ 37 | | 5 \/ 37 | |5 \/ 37 | |7 \/ 37 | (- + ------, |- - + ------|*|- - + ------|*|- + ------|*|- + ------|) 2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / \2 2 / \2 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}, \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\left(x - 5\right) \left(3 x - 1\right) + \left(x - 4\right) \left(2 x + 3\right) + \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{111}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{111}}{6}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{111}}{6}\right] \cup \left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{111}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{111}}{6}, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{111}}{6}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\left(x - 5\right) \left(3 x - 1\right) + \left(x - 4\right) \left(2 x + 3\right) + \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{111}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{111}}{6}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{111}}{6}\right] \cup \left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{111}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{111}}{6}, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{111}}{6}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x + 1)*(x + 2))*(x - 4))*(x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right) = \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)$$
- No
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right) = - \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right) = \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)$$
- No
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 4\right) \left(x - 5\right) = - \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar