Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$10 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-5 + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 2 \sqrt{6} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{6} + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 5 \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 + \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} + 2 \sqrt{6} + 5 \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ _____________\ / _____________\ / / _____________\\
| ___ ____ / ___ | 1 | ___ ____ / ___ | 2| | ___ ____ / ___ ||
(2*atan\-5 + 2*\/ 6 + \/ 10 *\/ 5 - 2*\/ 6 /, - - 2*atan\-5 + 2*\/ 6 + \/ 10 *\/ 5 - 2*\/ 6 / + 5*sin \2*atan\-5 + 2*\/ 6 + \/ 10 *\/ 5 - 2*\/ 6 //)
2
/ _____________\ / _____________\ / / _____________\\
| ___ ____ / ___ | 1 | ___ ____ / ___ | 2| | ___ ____ / ___ ||
(-2*atan\5 - 2*\/ 6 + \/ 10 *\/ 5 - 2*\/ 6 /, - + 2*atan\5 - 2*\/ 6 + \/ 10 *\/ 5 - 2*\/ 6 / + 5*sin \2*atan\5 - 2*\/ 6 + \/ 10 *\/ 5 - 2*\/ 6 //)
2
/ _____________\ / _____________\ / / _____________\\
| ___ ____ / ___ | 1 | ___ ____ / ___ | 2| | ___ ____ / ___ ||
(-2*atan\5 + 2*\/ 6 + \/ 10 *\/ 5 + 2*\/ 6 /, - + 2*atan\5 + 2*\/ 6 + \/ 10 *\/ 5 + 2*\/ 6 / + 5*sin \2*atan\5 + 2*\/ 6 + \/ 10 *\/ 5 + 2*\/ 6 //)
2
/ _____________\ / _____________\ / / _____________\\
| ___ ____ / ___ | 1 | ___ ____ / ___ | 2| | ___ ____ / ___ ||
(-2*atan\5 + 2*\/ 6 - \/ 10 *\/ 5 + 2*\/ 6 /, - + 2*atan\5 + 2*\/ 6 - \/ 10 *\/ 5 + 2*\/ 6 / + 5*sin \2*atan\5 + 2*\/ 6 - \/ 10 *\/ 5 + 2*\/ 6 //)
2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 + \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} + 2 \sqrt{6} + 5 \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(-5 + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 2 \sqrt{6} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{6} + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 5 \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 + \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{6} + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 5 \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} + 2 \sqrt{6} + 5 \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 + \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}\right]$$