Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 5sin^2x+1/2-x

Gráfico de la función y = 5sin^2x+1/2-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2      1    
f(x) = 5*sin (x) + - - x
                   2
f(x)=−x+(5sin⁡2(x)+12)f{\left(x \right)} = - x + \left(5 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) 
f = -x + 5*sin(x)^2 + 1/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+(5sin⁡2(x)+12)=0- x + \left(5 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=2.46419360049075x_{1} = 2.46419360049075
x2=4.1706513860155x_{2} = 4.1706513860155
x3=5.02553021344488x_{3} = 5.02553021344488
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*sin(x)^2 + 1/2 - x.
−0+(5sin⁡2(0)+12)- 0 + \left(5 \sin^{2}{\left(0 \right)} + \frac{1}{2}\right)
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
10sin⁡(x)cos⁡(x)−1=010 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(−5+105−26+26)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-5 + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 2 \sqrt{6} \right)}
x2=−2atan⁡(−26+105−26+5)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{6} + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 5 \right)}
x3=−2atan⁡(26+5+1026+5)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 + \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}
x4=−2atan⁡(−1026+5+26+5)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} + 2 \sqrt{6} + 5 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
       /                         _____________\            /                         _____________\         /      /                         _____________\\ 
       |         ___     ____   /         ___ |  1         |         ___     ____   /         ___ |        2|      |         ___     ____   /         ___ || 
(2*atan\-5 + 2*\/ 6  + \/ 10 *\/  5 - 2*\/ 6  /, - - 2*atan\-5 + 2*\/ 6  + \/ 10 *\/  5 - 2*\/ 6  / + 5*sin \2*atan\-5 + 2*\/ 6  + \/ 10 *\/  5 - 2*\/ 6  //)
                                                 2                                                                                                           

        /                        _____________\            /                        _____________\         /      /                        _____________\\ 
        |        ___     ____   /         ___ |  1         |        ___     ____   /         ___ |        2|      |        ___     ____   /         ___ || 
(-2*atan\5 - 2*\/ 6  + \/ 10 *\/  5 - 2*\/ 6  /, - + 2*atan\5 - 2*\/ 6  + \/ 10 *\/  5 - 2*\/ 6  / + 5*sin \2*atan\5 - 2*\/ 6  + \/ 10 *\/  5 - 2*\/ 6  //)
                                                 2                                                                                                         

        /                        _____________\            /                        _____________\         /      /                        _____________\\ 
        |        ___     ____   /         ___ |  1         |        ___     ____   /         ___ |        2|      |        ___     ____   /         ___ || 
(-2*atan\5 + 2*\/ 6  + \/ 10 *\/  5 + 2*\/ 6  /, - + 2*atan\5 + 2*\/ 6  + \/ 10 *\/  5 + 2*\/ 6  / + 5*sin \2*atan\5 + 2*\/ 6  + \/ 10 *\/  5 + 2*\/ 6  //)
                                                 2                                                                                                         

        /                        _____________\            /                        _____________\         /      /                        _____________\\ 
        |        ___     ____   /         ___ |  1         |        ___     ____   /         ___ |        2|      |        ___     ____   /         ___ || 
(-2*atan\5 + 2*\/ 6  - \/ 10 *\/  5 + 2*\/ 6  /, - + 2*atan\5 + 2*\/ 6  - \/ 10 *\/  5 + 2*\/ 6  / + 5*sin \2*atan\5 + 2*\/ 6  - \/ 10 *\/  5 + 2*\/ 6  //)
                                                 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2atan⁡(26+5+1026+5)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 + \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}
x2=−2atan⁡(−1026+5+26+5)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} + 2 \sqrt{6} + 5 \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=2atan⁡(−5+105−26+26)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(-5 + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 2 \sqrt{6} \right)}
x2=−2atan⁡(−26+105−26+5)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{6} + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 5 \right)}
Decrece en los intervalos
[−2atan⁡(26+5+1026+5),−2atan⁡(−26+105−26+5)]∪[−2atan⁡(−1026+5+26+5),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 + \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{6} + \sqrt{10} \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + 5 \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} + 2 \sqrt{6} + 5 \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(26+5+1026+5)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 + \sqrt{10} \sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
10(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=010 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+(5sin⁡2(x)+12))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \left(5 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+(5sin⁡2(x)+12))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + \left(5 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*sin(x)^2 + 1/2 - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+(5sin⁡2(x)+12)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \left(5 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(−x+(5sin⁡2(x)+12)x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(5 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+(5sin⁡2(x)+12)=x+5sin⁡2(x)+12- x + \left(5 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) = x + 5 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}
- No
−x+(5sin⁡2(x)+12)=−x−5sin⁡2(x)−12- x + \left(5 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) = - x - 5 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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