Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((x^2)-9)/((x-3)(x+4))

Gráfico de la función y = ((x^2)-9)/((x-3)(x+4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             2        
            x  - 9    
f(x) = ---------------
       (x - 3)*(x + 4)
f(x)=x2−9(x−3)(x+4)f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 9}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)} 
f = (x^2 - 9)/(((x - 3)*(x + 4)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−4x_{1} = -4
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−9(x−3)(x+4)=0\frac{x^{2} - 9}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 9)/(((x - 3)*(x + 4))).
−9+02(−1)3⋅4\frac{-9 + 0^{2}}{\left(-1\right) 3 \cdot 4}
Resultado:
f(0)=34f{\left(0 \right)} = \frac{3}{4}
Punto:
(0, 3/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x1(x−3)(x+4)+(−2x−1)(x2−9)(x−3)2(x+4)2=02 x \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)} + \frac{\left(- 2 x - 1\right) \left(x^{2} - 9\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4x(2x+1)(x−3)(x+4)+2+(x2−9)((2x+1)(1x+4+1x−3)−2+2x+1x+4+2x+1x−3)(x−3)(x+4)(x−3)(x+4)=0\frac{- \frac{4 x \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)} + 2 + \frac{\left(x^{2} - 9\right) \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−4x_{1} = -4
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−9(x−3)(x+4))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x2−9(x−3)(x+4))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 9)/(((x - 3)*(x + 4))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−3)(x+4)(x2−9)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)} \left(x^{2} - 9\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x−3)(x+4)(x2−9)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)} \left(x^{2} - 9\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−9(x−3)(x+4)=x2−9(4−x)(−x−3)\frac{x^{2} - 9}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)} = \frac{x^{2} - 9}{\left(4 - x\right) \left(- x - 3\right)}
- No
x2−9(x−3)(x+4)=−x2−9(4−x)(−x−3)\frac{x^{2} - 9}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)} = - \frac{x^{2} - 9}{\left(4 - x\right) \left(- x - 3\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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