Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x*e^(3x)

Gráfico de la función y = x*e^(3x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3*x
f(x) = x*E
f(x)=e3xxf{\left(x \right)} = e^{3 x} x 
f = E^(3*x)*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200000000000000-100000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e3xx=0e^{3 x} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−80.8979774495789x_{1} = -80.8979774495789
x2=−22.9922211573021x_{2} = -22.9922211573021
x3=−84.8964756651569x_{3} = -84.8964756651569
x4=−76.8996443728558x_{4} = -76.8996443728558
x5=−21.0073010205309x_{5} = -21.0073010205309
x6=−28.9618160346074x_{6} = -28.9618160346074
x7=−104.890755218345x_{7} = -104.890755218345
x8=−58.9101605312548x_{8} = -58.9101605312548
x9=−90.894482635299x_{9} = -90.894482635299
x10=−68.9035961391333x_{10} = -68.9035961391333
x11=−70.9025193770283x_{11} = -70.9025193770283
x12=−17.0522033058526x_{12} = -17.0522033058526
x13=−26.9701450522659x_{13} = -26.9701450522659
x14=−56.9117722918857x_{14} = -56.9117722918857
x15=−50.9174360047675x_{15} = -50.9174360047675
x16=−98.8922178388967x_{16} = -98.8922178388967
x17=−102.891223015744x_{17} = -102.891223015744
x18=−88.8951156279565x_{18} = -88.8951156279565
x19=−32.9486642444431x_{19} = -32.9486642444431
x20=0x_{20} = 0
x21=−40.9309946683666x_{21} = -40.9309946683666
x22=−15.0879331724686x_{22} = -15.0879331724686
x23=−96.8927474190871x_{23} = -96.8927474190871
x24=−38.9346459151651x_{24} = -38.9346459151651
x25=−42.9277215719632x_{25} = -42.9277215719632
x26=−34.9433802056x_{26} = -34.9433802056
x27=−62.9072664632937x_{27} = -62.9072664632937
x28=−64.9059624301828x_{28} = -64.9059624301828
x29=−82.8972074884783x_{29} = -82.8972074884783
x30=−106.890305626567x_{30} = -106.890305626567
x31=−44.9247706684296x_{31} = -44.9247706684296
x32=−24.98010213912x_{32} = -24.98010213912
x33=−30.9547443398454x_{33} = -30.9547443398454
x34=−72.9015052766187x_{34} = -72.9015052766187
x35=−86.895779213308x_{35} = -86.895779213308
x36=−11.2328152835375x_{36} = -11.2328152835375
x37=−100.891710147796x_{37} = -100.891710147796
x38=−52.9153929935434x_{38} = -52.9153929935434
x39=−78.8987886111081x_{39} = -78.8987886111081
x40=−66.9047415605498x_{40} = -66.9047415605498
x41=−74.9005485194854x_{41} = -74.9005485194854
x42=−19.0265962551348x_{42} = -19.0265962551348
x43=−13.1416111389768x_{43} = -13.1416111389768
x44=−54.91351121676x_{44} = -54.91351121676
x45=−94.8933003357084x_{45} = -94.8933003357084
x46=−92.8938781666278x_{46} = -92.8938781666278
x47=−60.9086624652399x_{47} = -60.9086624652399
x48=−46.9220965396229x_{48} = -46.9220965396229
x49=−36.9387450640686x_{49} = -36.9387450640686
x50=−48.9196619333906x_{50} = -48.9196619333906
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(3*x).
0e0⋅30 e^{0 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3xe3x+e3x=03 x e^{3 x} + e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
         -1  
       -e    
(-1/3, -----)
         3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−13,∞)\left[- \frac{1}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−13]\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(3x+2)e3x=03 \left(3 x + 2\right) e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−23,∞)\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e3xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{3 x} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(e3xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{3 x} x\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e3x=0\lim_{x \to -\infty} e^{3 x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞e3x=∞\lim_{x \to \infty} e^{3 x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e3xx=−xe−3xe^{3 x} x = - x e^{- 3 x}
- No
e3xx=xe−3xe^{3 x} x = x e^{- 3 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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