Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ erf(sqrt(x))

Gráfico de la función y = erf(sqrt(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___\
f(x) = erf\\/ x /
f(x)=erf⁡(x)f{\left(x \right)} = \operatorname{erf}{\left(\sqrt{x} \right)} 
f = erf(sqrt(x))
Gráfico de la función
0.52.00.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.61.71.81.90.501.00
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
erf⁡(x)=0\operatorname{erf}{\left(\sqrt{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en erf(sqrt(x)).
erf⁡(0)\operatorname{erf}{\left(\sqrt{0} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
e−xπx=0\frac{e^{- x}}{\sqrt{\pi} \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+12x)e−xπx=0- \frac{\left(1 + \frac{1}{2 x}\right) e^{- x}}{\sqrt{\pi} \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞erf⁡(x)=∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{x} \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞erf⁡(x)=1\lim_{x \to \infty} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función erf(sqrt(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(erf⁡(x)x)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(erf⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
erf⁡(x)=erf⁡(−x)\operatorname{erf}{\left(\sqrt{x} \right)} = \operatorname{erf}{\left(\sqrt{- x} \right)}
- No
erf⁡(x)=−erf⁡(−x)\operatorname{erf}{\left(\sqrt{x} \right)} = - \operatorname{erf}{\left(\sqrt{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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