Sr Examen

Gráfico de la función y = e^(1/x)-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       x ___    
f(x) = \/ E  - x
$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{1}{x}} - x$$
f = E^(1/x) - x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{\frac{1}{x}} - x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 1.7632228343519$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(1/x) - x.
$$- 0 + e^{\frac{1}{0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$-1 - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{\frac{1}{x}} - x\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\frac{1}{x}} - x\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(1/x) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}} - x}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}} - x}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{\frac{1}{x}} - x = x + e^{- \frac{1}{x}}$$
- No
$$e^{\frac{1}{x}} - x = - x - e^{- \frac{1}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = e^(1/x)-x