Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • -x^2+3*x -x^2+3*x
  • x^2-2*x+8 x^2-2*x+8
  • y=x y=x
  • y=x³-3x² y=x³-3x²

  • Expresiones idénticas

  • x^ tres +4x^ dos +3x
  • x al cubo más 4x al cuadrado más 3x
  • x en el grado tres más 4x en el grado dos más 3x
  • x3+4x2+3x
  • x³+4x²+3x
  • x en el grado 3+4x en el grado 2+3x

  • Expresiones semejantes

  • x^3+4x^2-3x
  • x^3-4x^2+3x
Trazado el gráfico de la función/ x^3+4x^2+3x

Gráfico de la función y = x^3+4x^2+3x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2      
f(x) = x  + 4*x  + 3*x
f(x)=3x+(x3+4x2)f{\left(x \right)} = 3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) 
f = 3*x + x^3 + 4*x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x+(x3+4x2)=03 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−1x_{2} = -1
x3=0x_{3} = 0
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−1x_{2} = -1
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 + 4*x^2 + 3*x.
(03+4⋅02)+0⋅3\left(0^{3} + 4 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 3
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+8x+3=03 x^{2} + 8 x + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−43−73x_{1} = - \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}
x2=−43+73x_{2} = - \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                3                          2 
         ___       /        ___\              /        ___\  
   4   \/ 7        |  4   \/ 7 |      ___     |  4   \/ 7 |  
(- - - -----, -4 + |- - - -----|  - \/ 7  + 4*|- - - -----| )
   3     3         \  3     3  /              \  3     3  /  

                                        3                  2 
         ___               /        ___\      /        ___\  
   4   \/ 7          ___   |  4   \/ 7 |      |  4   \/ 7 |  
(- - + -----, -4 + \/ 7  + |- - + -----|  + 4*|- - + -----| )
   3     3                 \  3     3  /      \  3     3  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−43+73x_{1} = - \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−43−73x_{1} = - \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−43−73]∪[−43+73,∞)\left(-\infty, - \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}\right] \cup \left[- \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−43−73,−43+73]\left[- \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x+4)=02 \left(3 x + 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−43x_{1} = - \frac{4}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−43,∞)\left[- \frac{4}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−43]\left(-\infty, - \frac{4}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x+(x3+4x2))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3x+(x3+4x2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 + 4*x^2 + 3*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x+(x3+4x2)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(3x+(x3+4x2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x+(x3+4x2)=−x3+4x2−3x3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) = - x^{3} + 4 x^{2} - 3 x
- No
3x+(x3+4x2)=x3−4x2+3x3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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