Sr Examen

Otras calculadoras


x^2/(1+x)^3
  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • (x+5)^2-9 (x+5)^2-9
  • x^(7/2)-3 x^(7/2)-3
  • -x^4+5x^2-4 -x^4+5x^2-4
  • x^3/ x^3/
  • Integral de d{x}:
  • x^2/(1+x)^3
  • Expresiones idénticas

  • x^ dos /(uno +x)^ tres
  • x al cuadrado dividir por (1 más x) al cubo
  • x en el grado dos dividir por (uno más x) en el grado tres
  • x2/(1+x)3
  • x2/1+x3
  • x²/(1+x)³
  • x en el grado 2/(1+x) en el grado 3
  • x^2/1+x^3
  • x^2 dividir por (1+x)^3
  • Expresiones semejantes

  • x^2/(1-x)^3

Gráfico de la función y = x^2/(1+x)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           2   
          x    
f(x) = --------
              3
       (1 + x) 
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
f = x^2/(x + 1)^3
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/(1 + x)^3.
$$\frac{0^{2}}{1^{3}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(2, 4/27)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{6 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6 x}{x + 1} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{6 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6 x}{x + 1} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{6 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6 x}{x + 1} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 - \sqrt{3}, \sqrt{3} + 2\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/(1 + x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{3}} = \frac{x^{2}}{\left(1 - x\right)^{3}}$$
- No
$$\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{3}} = - \frac{x^{2}}{\left(1 - x\right)^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2/(1+x)^3