Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
- Integral de d{x}:
- (x+4)/(x^3+3x^2-10x)
-
Expresiones idénticas
- (x+ cuatro)/(x^ tres +3x^ dos -10x)
- (x más 4) dividir por (x al cubo más 3x al cuadrado menos 10x)
- (x más cuatro) dividir por (x en el grado tres más 3x en el grado dos menos 10x)
- (x+4)/(x3+3x2-10x)
- x+4/x3+3x2-10x
- (x+4)/(x³+3x²-10x)
- (x+4)/(x en el grado 3+3x en el grado 2-10x)
- x+4/x^3+3x^2-10x
- (x+4) dividir por (x^3+3x^2-10x)
-
Expresiones semejantes
- (x+4)/(x^3+3x^2+10x)
- (x+4)/(x^3-3x^2-10x)
- (x-4)/(x^3+3x^2-10x)
Gráfico de la función y = (x+4)/(x^3+3x^2-10x)
Solución
Ha introducido
[src]
x + 4
f(x) = ----------------
3 2
x + 3*x - 10*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}$$
f = (x + 4)/(-10*x + x^3 + 3*x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} + \frac{\left(x + 4\right) \left(- 3 x^{2} - 6 x + 10\right)}{\left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} + \frac{\left(x + 4\right) \left(- 3 x^{2} - 6 x + 10\right)}{\left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}$$
Signos de extremos en los puntos:
_______________
/ ____
3 / 75 3*\/ 34 9
- + 3 / -- + -------- + ----------------------
2 \/ 8 2 _______________
/ ____
_______________ / 75 3*\/ 34
/ ____ 4*3 / -- + --------
5 / 75 3*\/ 34 9 \/ 8 2
(- - + 3 / -- + -------- + ----------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 \/ 8 2 _______________ 3 2
/ ____ / _______________ \ _______________ / _______________ \
/ 75 3*\/ 34 | / ____ | / ____ | / ____ |
4*3 / -- + -------- | 5 / 75 3*\/ 34 9 | / 75 3*\/ 34 | 5 / 75 3*\/ 34 9 | 45
\/ 8 2 25 + |- - + 3 / -- + -------- + ----------------------| - 10*3 / -- + -------- + 3*|- - + 3 / -- + -------- + ----------------------| - ----------------------
| 2 \/ 8 2 _______________| \/ 8 2 | 2 \/ 8 2 _______________| _______________
| / ____ | | / ____ | / ____
| / 75 3*\/ 34 | | / 75 3*\/ 34 | / 75 3*\/ 34
| 4*3 / -- + -------- | | 4*3 / -- + -------- | 2*3 / -- + --------
\ \/ 8 2 / \ \/ 8 2 / \/ 8 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3.42304543805662$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
$$\lim_{x \to -5^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -5^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -5$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{3} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3.42304543805662, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3.42304543805662\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3.42304543805662$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
$$\lim_{x \to -5^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -5^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -5$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{3} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3.42304543805662, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3.42304543805662\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 4)/(x^3 + 3*x^2 - 10*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 4}{x \left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 4}{x \left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 4}{x \left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 4}{x \left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = \frac{4 - x}{- x^{3} + 3 x^{2} + 10 x}$$
- No
$$\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = - \frac{4 - x}{- x^{3} + 3 x^{2} + 10 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = \frac{4 - x}{- x^{3} + 3 x^{2} + 10 x}$$
- No
$$\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = - \frac{4 - x}{- x^{3} + 3 x^{2} + 10 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar