Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = (x+4)/(x^3+3x^2-10x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            x + 4      
f(x) = ----------------
        3      2       
       x  + 3*x  - 10*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}$$
f = (x + 4)/(-10*x + x^3 + 3*x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 4)/(x^3 + 3*x^2 - 10*x).
$$\frac{4}{\left(0^{3} + 3 \cdot 0^{2}\right) - 0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} + \frac{\left(x + 4\right) \left(- 3 x^{2} - 6 x + 10\right)}{\left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                           _______________                                                                                      
                                                                                                                          /          ____                                                                                       
                                                                                                                  3      /  75   3*\/ 34               9                                                                        
                                                                                                                  - + 3 /   -- + --------  + ----------------------                                                             
                                                                                                                  2   \/    8       2               _______________                                                             
                                                                                                                                                   /          ____                                                              
            _______________                                                                                                                       /  75   3*\/ 34                                                               
           /          ____                                                                                                                   4*3 /   -- + --------                                                              
   5      /  75   3*\/ 34               9                                                                                                      \/    8       2                                                                  
(- - + 3 /   -- + --------  + ----------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
   2   \/    8       2               _______________                                                            3                                                                                    2                          
                                    /          ____        /           _______________                         \            _______________     /           _______________                         \                           
                                   /  75   3*\/ 34         |          /          ____                          |           /          ____      |          /          ____                          |                           
                              4*3 /   -- + --------        |  5      /  75   3*\/ 34               9           |          /  75   3*\/ 34       |  5      /  75   3*\/ 34               9           |              45           
                                \/    8       2       25 + |- - + 3 /   -- + --------  + ----------------------|  - 10*3 /   -- + --------  + 3*|- - + 3 /   -- + --------  + ----------------------|  - ---------------------- 
                                                           |  2   \/    8       2               _______________|       \/    8       2          |  2   \/    8       2               _______________|           _______________ 
                                                           |                                   /          ____ |                                |                                   /          ____ |          /          ____  
                                                           |                                  /  75   3*\/ 34  |                                |                                  /  75   3*\/ 34  |         /  75   3*\/ 34   
                                                           |                             4*3 /   -- + -------- |                                |                             4*3 /   -- + -------- |    2*3 /   -- + --------  
                                                           \                               \/    8       2     /                                \                               \/    8       2     /      \/    8       2      


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3.42304543805662$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$

$$\lim_{x \to -5^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -5^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -5$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{3} = 2$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3.42304543805662, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3.42304543805662\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 4)/(x^3 + 3*x^2 - 10*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 4}{x \left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 4}{x \left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = \frac{4 - x}{- x^{3} + 3 x^{2} + 10 x}$$
- No
$$\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = - \frac{4 - x}{- x^{3} + 3 x^{2} + 10 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar