Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3.42304543805662$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
$$\lim_{x \to -5^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -5^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -5$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{3} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3.42304543805662, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3.42304543805662\right]$$