Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (x+4)/(x^3+3x^2-10x)

Gráfico de la función y = (x+4)/(x^3+3x^2-10x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            x + 4      
f(x) = ----------------
        3      2       
       x  + 3*x  - 10*x
f(x)=x+4−10x+(x3+3x2)f{\left(x \right)} = \frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} 
f = (x + 4)/(-10*x + x^3 + 3*x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−5x_{1} = -5
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+4−10x+(x3+3x2)=0\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−4x_{1} = -4
Solución numérica
x1=−4x_{1} = -4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 4)/(x^3 + 3*x^2 - 10*x).
4(03+3⋅02)−0\frac{4}{\left(0^{3} + 3 \cdot 0^{2}\right) - 0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−10x+(x3+3x2)+(x+4)(−3x2−6x+10)(−10x+(x3+3x2))2=0\frac{1}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} + \frac{\left(x + 4\right) \left(- 3 x^{2} - 6 x + 10\right)}{\left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−52+943342+7583+3342+7583x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                           _______________                                                                                      
                                                                                                                          /          ____                                                                                       
                                                                                                                  3      /  75   3*\/ 34               9                                                                        
                                                                                                                  - + 3 /   -- + --------  + ----------------------                                                             
                                                                                                                  2   \/    8       2               _______________                                                             
                                                                                                                                                   /          ____                                                              
            _______________                                                                                                                       /  75   3*\/ 34                                                               
           /          ____                                                                                                                   4*3 /   -- + --------                                                              
   5      /  75   3*\/ 34               9                                                                                                      \/    8       2                                                                  
(- - + 3 /   -- + --------  + ----------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
   2   \/    8       2               _______________                                                            3                                                                                    2                          
                                    /          ____        /           _______________                         \            _______________     /           _______________                         \                           
                                   /  75   3*\/ 34         |          /          ____                          |           /          ____      |          /          ____                          |                           
                              4*3 /   -- + --------        |  5      /  75   3*\/ 34               9           |          /  75   3*\/ 34       |  5      /  75   3*\/ 34               9           |              45           
                                \/    8       2       25 + |- - + 3 /   -- + --------  + ----------------------|  - 10*3 /   -- + --------  + 3*|- - + 3 /   -- + --------  + ----------------------|  - ---------------------- 
                                                           |  2   \/    8       2               _______________|       \/    8       2          |  2   \/    8       2               _______________|           _______________ 
                                                           |                                   /          ____ |                                |                                   /          ____ |          /          ____  
                                                           |                                  /  75   3*\/ 34  |                                |                                  /  75   3*\/ 34  |         /  75   3*\/ 34   
                                                           |                             4*3 /   -- + -------- |                                |                             4*3 /   -- + -------- |    2*3 /   -- + --------  
                                                           \                               \/    8       2     /                                \                               \/    8       2     /      \/    8       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−52+943342+7583+3342+7583x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}
Decrece en los intervalos
(−∞,−52+943342+7583+3342+7583]\left(-\infty, - \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}\right]
Crece en los intervalos
[−52+943342+7583+3342+7583,∞)\left[- \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{34}}{2} + \frac{75}{8}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(3x2+6x+(x+4)(3x+3−(3x2+6x−10)2x(x2+3x−10))−10)x2(x2+3x−10)2=0- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3.42304543805662x_{1} = -3.42304543805662
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−5x_{1} = -5
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2

lim⁡x→−5−(−2(3x2+6x+(x+4)(3x+3−(3x2+6x−10)2x(x2+3x−10))−10)x2(x2+3x−10)2)=∞\lim_{x \to -5^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→−5+(−2(3x2+6x+(x+4)(3x+3−(3x2+6x−10)2x(x2+3x−10))−10)x2(x2+3x−10)2)=−∞\lim_{x \to -5^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−5x_{1} = -5
- es el punto de flexión
lim⁡x→0−(−2(3x2+6x+(x+4)(3x+3−(3x2+6x−10)2x(x2+3x−10))−10)x2(x2+3x−10)2)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(−2(3x2+6x+(x+4)(3x+3−(3x2+6x−10)2x(x2+3x−10))−10)x2(x2+3x−10)2)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=0x_{2} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(−2(3x2+6x+(x+4)(3x+3−(3x2+6x−10)2x(x2+3x−10))−10)x2(x2+3x−10)2)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(−2(3x2+6x+(x+4)(3x+3−(3x2+6x−10)2x(x2+3x−10))−10)x2(x2+3x−10)2)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{2 \left(3 x^{2} + 6 x + \left(x + 4\right) \left(3 x + 3 - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 10\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 3 x - 10\right)}\right) - 10\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 3 x - 10\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x3=2x_{3} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3.42304543805662,∞)\left[-3.42304543805662, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3.42304543805662]\left(-\infty, -3.42304543805662\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−5x_{1} = -5
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+4−10x+(x3+3x2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x+4−10x+(x3+3x2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 4)/(x^3 + 3*x^2 - 10*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+4x(−10x+(x3+3x2)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 4}{x \left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+4x(−10x+(x3+3x2)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 4}{x \left(- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+4−10x+(x3+3x2)=4−x−x3+3x2+10x\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = \frac{4 - x}{- x^{3} + 3 x^{2} + 10 x}
- No
x+4−10x+(x3+3x2)=−4−x−x3+3x2+10x\frac{x + 4}{- 10 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)} = - \frac{4 - x}{- x^{3} + 3 x^{2} + 10 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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