Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((2-x)(x^(2)-4x+1))

Gráfico de la función y = cbrt((2-x)(x^(2)-4x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________________________
       3 /         / 2          \ 
f(x) = \/  (2 - x)*\x  - 4*x + 1/
f(x)=(2−x)((x2−4x)+1)3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)} 
f = ((2 - x)*(x^2 - 4*x + 1))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2−x)((x2−4x)+1)3=0\sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2−i3−1i3x_{1} = 2 - \sqrt[3]{i} - \frac{1}{\sqrt[3]{i}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((2 - x)*(x^2 - 4*x + 1))^(1/3).
(2−0)((02−0)+1)3\sqrt[3]{\left(2 - 0\right) \left(\left(0^{2} - 0\right) + 1\right)}
Resultado:
f(0)=23f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{2}
Punto:
(0, 2^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2−x)((x2−4x)+1)3(−x23+4x3+(2−x)(2x−4)3−13)(2−x)((x2−4x)+1)=0\frac{\sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)} \left(- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} + \frac{\left(2 - x\right) \left(2 x - 4\right)}{3} - \frac{1}{3}\right)}{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x−2)(x2−4x+1)3(2−2(x2−4x+2(x−2)2+1)3(x2−4x+1)−x2−4x+2(x−2)2+13(x−2)2+(x2−4x+2(x−2)2+1)29(x−2)2(x2−4x+1))x2−4x+1=0\frac{\sqrt[3]{- \left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)} \left(2 - \frac{2 \left(x^{2} - 4 x + 2 \left(x - 2\right)^{2} + 1\right)}{3 \left(x^{2} - 4 x + 1\right)} - \frac{x^{2} - 4 x + 2 \left(x - 2\right)^{2} + 1}{3 \left(x - 2\right)^{2}} + \frac{\left(x^{2} - 4 x + 2 \left(x - 2\right)^{2} + 1\right)^{2}}{9 \left(x - 2\right)^{2} \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}\right)}{x^{2} - 4 x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=22935.1577402611x_{1} = 22935.1577402611
x2=−40607.3442029688x_{2} = -40607.3442029688
x3=−13463.8327255325x_{3} = -13463.8327255325
x4=−11764.2859596051x_{4} = -11764.2859596051
x5=−32128.6538879474x_{5} = -32128.6538879474
x6=−27040.6435149774x_{6} = -27040.6435149774
x7=−30432.7389386115x_{7} = -30432.7389386115
x8=−17709.0729738729x_{8} = -17709.0729738729
x9=28024.0067174112x_{9} = 28024.0067174112
x10=−42302.9549784855x_{10} = -42302.9549784855
x11=21238.5320460819x_{11} = 21238.5320460819
x12=−35520.281588014x_{12} = -35520.281588014
x13=−16860.3146630141x_{13} = -16860.3146630141
x14=30568.029185242x_{14} = 30568.029185242
x15=−25344.4275547676x_{15} = -25344.4275547676
x16=−21103.1804134053x_{16} = -21103.1804134053
x17=−23648.0673021873x_{17} = -23648.0673021873
x18=17844.4740633886x_{18} = 17844.4740633886
x19=−31280.7059789048x_{19} = -31280.7059789048
x20=−12614.2045821597x_{20} = -12614.2045821597
x21=−37216.012750103x_{21} = -37216.012750103
x22=23783.3948913621x_{22} = 23783.3948913621
x23=12749.7668706712x_{23} = 12749.7668706712
x24=−16011.4344345569x_{24} = -16011.4344345569
x25=−26192.5518220535x_{25} = -26192.5518220535
x26=−27888.7056010777x_{26} = -27888.7056010777
x27=−38063.860879902x_{27} = -38063.860879902
x28=−18557.7260417445x_{28} = -18557.7260417445
x29=−21951.529370883x_{29} = -21951.529370883
x30=−19406.2876333696x_{30} = -19406.2876333696
x31=−38911.698388779x_{31} = -38911.698388779
x32=−43150.7485167494x_{32} = -43150.7485167494
x33=−39759.5259557003x_{33} = -39759.5259557003
x34=20390.1309322134x_{34} = 20390.1309322134
x35=−33824.4980617993x_{35} = -33824.4980617993
x36=26327.8620023876x_{36} = 26327.8620023876
x37=35655.5566624874x_{37} = 35655.5566624874
x38=24631.5885184677x_{38} = 24631.5885184677
x39=−36368.1532571523x_{39} = -36368.1532571523
x40=41590.4176289509x_{40} = 41590.4176289509
x41=34807.673999245x_{41} = 34807.673999245
x42=−34672.3968501955x_{42} = -34672.3968501955
x43=−20254.7692149543x_{43} = -20254.7692149543
x44=16995.732969216x_{44} = 16995.732969216
x45=−29584.751123943x_{45} = -29584.751123943
x46=−15162.4118955911x_{46} = -15162.4118955911
x47=−14313.2218374907x_{47} = -14313.2218374907
x48=−28736.7406980755x_{48} = -28736.7406980755
x49=−22799.8230203919x_{49} = -22799.8230203919
x50=−32976.5841400403x_{50} = -32976.5841400403
x51=37351.2840916655x_{51} = 37351.2840916655
x52=−41455.1537020138x_{52} = -41455.1537020138
x53=33111.8659271269x_{53} = 33111.8659271269
x54=−24496.2673353141x_{54} = -24496.2673353141

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−16860.3146630141,∞)\left[-16860.3146630141, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−38911.698388779]\left(-\infty, -38911.698388779\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2−x)((x2−4x)+1)3=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2−x)((x2−4x)+1)3=∞−13\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2 - x)*(x^2 - 4*x + 1))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2−x)((x2−4x)+1)3x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((2−x)((x2−4x)+1)3x)=−13\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−13xy = \sqrt[3]{-1} x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2−x)((x2−4x)+1)3=(x+2)(x2+4x+1)3\sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)} = \sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}
- No
(2−x)((x2−4x)+1)3=−(x+2)(x2+4x+1)3\sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)} = - \sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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