Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- cbrt((x^ dos)/(uno -x^ dos))
- raíz cúbica de ((x al cuadrado ) dividir por (1 menos x al cuadrado ))
- raíz cúbica de ((x en el grado dos) dividir por (uno menos x en el grado dos))
- cbrt((x2)/(1-x2))
- cbrtx2/1-x2
- cbrt((x²)/(1-x²))
- cbrt((x en el grado 2)/(1-x en el grado 2))
- cbrtx^2/1-x^2
- cbrt((x^2) dividir por (1-x^2))
-
Expresiones semejantes
- cbrt((x^2)/(1+x^2))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cúbica cbrt
- cbrt((x^3)-x)
- cbrt(x)*(3^x)
- cbrt(x)*(sin^2*20x)-0.2*x
- cbrt((x^2-2*x-3)^2)
- cbrt(x)/(x+2)^2
Gráfico de la función y = cbrt((x^2)/(1-x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
________
/ 2
/ x
f(x) = / ------
3 / 2
\/ 1 - x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}}$$
f = (x^2/(1 - x^2))^(1/3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{1 - x^{2}}} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}} \left(1 - x^{2}\right) \left(\frac{2 x^{3}}{3 \left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 x}{3 \left(1 - x^{2}\right)}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{1 - x^{2}}} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}} \left(1 - x^{2}\right) \left(\frac{2 x^{3}}{3 \left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 x}{3 \left(1 - x^{2}\right)}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} - 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}}\right)}{x} + \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \sqrt[3]{-1}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2/(1 - x^2))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{1 - x^{2}}} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{1 - x^{2}}} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{1 - x^{2}}} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{1 - x^{2}}} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}}$$
- Sí
$$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = - \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}}$$
- Sí
$$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}} = - \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}}$$
- No
es decir, función
es
par