Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x)*(3^x)

Gráfico de la función y = cbrt(x)*(3^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3 ___  x
f(x) = \/ x *3
f(x)=3xx3f{\left(x \right)} = 3^{x} \sqrt[3]{x} 
f = 3^x*x^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3xx3=03^{x} \sqrt[3]{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−41.1807990414544x_{1} = -41.1807990414544
x2=−33.2572160412258x_{2} = -33.2572160412258
x3=−99.0512532793911x_{3} = -99.0512532793911
x4=0x_{4} = 0
x5=−45.1570680781559x_{5} = -45.1570680781559
x6=−105.04706227826x_{6} = -105.04706227826
x7=−85.0636867411616x_{7} = -85.0636867411616
x8=−77.0731759274735x_{8} = -77.0731759274735
x9=−91.0578227654377x_{9} = -91.0578227654377
x10=−117.040106425761x_{10} = -117.040106425761
x11=−75.0759221820288x_{11} = -75.0759221820288
x12=−37.2124836962755x_{12} = -37.2124836962755
x13=−93.0560597272181x_{13} = -93.0560597272181
x14=−97.0527806395934x_{14} = -97.0527806395934
x15=−113.042242897469x_{15} = -113.042242897469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(1/3)*3^x.
03⋅30\sqrt[3]{0} \cdot 3^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3xx3log⁡(3)+3x3x23=03^{x} \sqrt[3]{x} \log{\left(3 \right)} + \frac{3^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13log⁡(3)x_{1} = - \frac{1}{3 \log{\left(3 \right)}}
Signos de extremos en los puntos:
           3 ____  2/3  -1/3 
   -1      \/ -1 *3   *e     
(--------, -----------------)
 3*log(3)       3 ________   
              3*\/ log(3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3xx3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(3^{x} \sqrt[3]{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(3xx3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \sqrt[3]{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(1/3)*3^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3xx23)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{x}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3xx23)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3xx3=3−x−x33^{x} \sqrt[3]{x} = 3^{- x} \sqrt[3]{- x}
- No
3xx3=−3−x−x33^{x} \sqrt[3]{x} = - 3^{- x} \sqrt[3]{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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