Sr Examen

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x^2-(|4*x+3|)
Trazado el gráfico de la función/ x^2-(|4*x+3|)

Gráfico de la función y = x^2-(|4*x+3|)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2            
f(x) = x  - |4*x + 3|
$$f{\left(x \right)} = x^{2} - \left|{4 x + 3}\right|$$ 
f = x^2 - |4*x + 3|
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} - \left|{4 x + 3}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 2 - \sqrt{7}$$
$$x_{4} = 2 + \sqrt{7}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -0.645751311064591$$
$$x_{4} = 4.64575131106459$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - |4*x + 3|.
$$- \left|{0 \cdot 4 + 3}\right| + 0^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -3$$
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - 4 \operatorname{sign}{\left(4 x + 3 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, -7)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 - 16 \delta\left(4 x + 3\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - \left|{4 x + 3}\right|\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - \left|{4 x + 3}\right|\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - |4*x + 3|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \left|{4 x + 3}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left|{4 x + 3}\right|}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} - \left|{4 x + 3}\right| = x^{2} - \left|{4 x - 3}\right|$$
- No
$$x^{2} - \left|{4 x + 3}\right| = - x^{2} + \left|{4 x - 3}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2-(|4*x+3|)
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