Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -4$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$