Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
- Derivada de:
-
3*x^3/(x^2+3*x-4)
-
Expresiones idénticas
- tres *x^ tres /(x^ dos + tres *x- cuatro)
- 3 multiplicar por x al cubo dividir por (x al cuadrado más 3 multiplicar por x menos 4)
- tres multiplicar por x en el grado tres dividir por (x en el grado dos más tres multiplicar por x menos cuatro)
- 3*x3/(x2+3*x-4)
- 3*x3/x2+3*x-4
- 3*x³/(x²+3*x-4)
- 3*x en el grado 3/(x en el grado 2+3*x-4)
- 3x^3/(x^2+3x-4)
- 3x3/(x2+3x-4)
- 3x3/x2+3x-4
- 3x^3/x^2+3x-4
- 3*x^3 dividir por (x^2+3*x-4)
-
Expresiones semejantes
- 3*x^3/(x^2+3*x+4)
- 3*x^3/(x^2-3*x-4)
Gráfico de la función y = 3*x^3/(x^2+3*x-4)
Solución
Ha introducido
[src]
3
3*x
f(x) = ------------
2
x + 3*x - 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4}$$
f = (3*x^3)/(x^2 + 3*x - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.000100472819721226$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 9.44843925499236 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -0.000112165119160988$$
$$x_{5} = -2.28110555319008 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -9.39846144944045 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 1.85088780000795 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -5.02779041652498 \cdot 10^{-5}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.000100472819721226$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 9.44843925499236 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -0.000112165119160988$$
$$x_{5} = -2.28110555319008 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -9.39846144944045 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 1.85088780000795 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -5.02779041652498 \cdot 10^{-5}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{3} \left(- 2 x - 3\right)}{\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - 4\right)^{2}} + \frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -3 + \sqrt{21}$$
$$x_{3} = - \sqrt{21} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{21}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{21} - 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{21} - 3\right] \cup \left[-3 + \sqrt{21}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{21} - 3, -3 + \sqrt{21}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{3} \left(- 2 x - 3\right)}{\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - 4\right)^{2}} + \frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -3 + \sqrt{21}$$
$$x_{3} = - \sqrt{21} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
3
/ ____\
____ 3*\-3 + \/ 21 /
(-3 + \/ 21, -------------------------------)
2
/ ____\ ____
-13 + \-3 + \/ 21 / + 3*\/ 21 3
/ ____\
____ 3*\-3 - \/ 21 /
(-3 - \/ 21, -------------------------------)
2
/ ____\ ____
-13 + \-3 - \/ 21 / - 3*\/ 21 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{21}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{21} - 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{21} - 3\right] \cup \left[-3 + \sqrt{21}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{21} - 3, -3 + \sqrt{21}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -4$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -4$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} - 1\right)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{3 x \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x^3)/(x^2 + 3*x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 3 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 3 x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 3 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 3 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4} = - \frac{3 x^{3}}{x^{2} - 3 x - 4}$$
- No
$$\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4} = \frac{3 x^{3}}{x^{2} - 3 x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4} = - \frac{3 x^{3}}{x^{2} - 3 x - 4}$$
- No
$$\frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 3 x\right) - 4} = \frac{3 x^{3}}{x^{2} - 3 x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar