Sr Examen

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(x^2)*(e^x)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2)*(e^x)

Gráfico de la función y = (x^2)*(e^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2  x
f(x) = x *E
f(x)=exx2f{\left(x \right)} = e^{x} x^{2} 
f = E^x*x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002500000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exx2=0e^{x} x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−44.3108762649905x_{1} = -44.3108762649905
x2=−63.7212246430644x_{2} = -63.7212246430644
x3=−67.6572960646381x_{3} = -67.6572960646381
x4=−50.061558962287x_{4} = -50.061558962287
x5=−57.8395946559803x_{5} = -57.8395946559803
x6=−73.5777125278413x_{6} = -73.5777125278413
x7=−35.1082010514801x_{7} = -35.1082010514801
x8=−103.340776718801x_{8} = -103.340776718801
x9=−87.4429379040025x_{9} = -87.4429379040025
x10=−53.9389966224242x_{10} = -53.9389966224242
x11=−69.628833400408x_{11} = -69.628833400408
x12=−42.4197387542301x_{12} = -42.4197387542301
x13=−46.2166624604922x_{13} = -46.2166624604922
x14=−117.277362966189x_{14} = -117.277362966189
x15=−95.3868236343622x_{15} = -95.3868236343622
x16=−99.3627195189532x_{16} = -99.3627195189532
x17=−75.5546705895527x_{17} = -75.5546705895527
x18=−115.285349010188x_{18} = -115.285349010188
x19=−81.4938033513721x_{19} = -81.4938033513721
x20=−36.8813855334114x_{20} = -36.8813855334114
x21=0x_{21} = 0
x22=−55.886836936279x_{22} = -55.886836936279
x23=−107.320716385987x_{23} = -107.320716385987
x24=−85.4589388313701x_{24} = -85.4589388313701
x25=−121.262283642069x_{25} = -121.262283642069
x26=−111.302305760974x_{26} = -111.302305760974
x27=−40.5471004173384x_{27} = -40.5471004173384
x28=−101.351496587439x_{28} = -101.351496587439
x29=−113.293656653183x_{29} = -113.293656653183
x30=−65.6880004393027x_{30} = -65.6880004393027
x31=−61.757295261576x_{31} = -61.757295261576
x32=−51.9968968445388x_{32} = -51.9968968445388
x33=−77.5330929772024x_{33} = -77.5330929772024
x34=−119.269680169774x_{34} = -119.269680169774
x35=−38.6983611853733x_{35} = -38.6983611853733
x36=−71.6023740669893x_{36} = -71.6023740669893
x37=−97.3744818786337x_{37} = -97.3744818786337
x38=−93.3997888155798x_{38} = -93.3997888155798
x39=−109.31131787361x_{39} = -109.31131787361
x40=−83.4758662349933x_{40} = -83.4758662349933
x41=−91.413426044512x_{41} = -91.413426044512
x42=−105.330526752392x_{42} = -105.330526752392
x43=−48.134267415089x_{43} = -48.134267415089
x44=−79.5128437462747x_{44} = -79.5128437462747
x45=−89.4277891533326x_{45} = -89.4277891533326
x46=−59.7965985080519x_{46} = -59.7965985080519
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*E^x.
02e00^{2} e^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2ex+2xex=0x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
        -2 
(-2, 4*e  )

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2,0]\left[-2, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x2+4x+2)ex=0\left(x^{2} + 4 x + 2\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2−2x_{1} = -2 - \sqrt{2}
x2=−2+2x_{2} = -2 + \sqrt{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2−2]∪[−2+2,∞)\left(-\infty, -2 - \sqrt{2}\right] \cup \left[-2 + \sqrt{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2−2,−2+2]\left[-2 - \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} x^{2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exx2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} x^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(xex)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x e^{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exx2=x2e−xe^{x} x^{2} = x^{2} e^{- x}
- No
exx2=−x2e−xe^{x} x^{2} = - x^{2} e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2)*(e^x)
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