Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(3*x-1)+e^(2*x-1)

Gráfico de la función y = log(3*x-1)+e^(2*x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                       2*x - 1
f(x) = log(3*x - 1) + E
$$f{\left(x \right)} = e^{2 x - 1} + \log{\left(3 x - 1 \right)}$$ 
f = E^(2*x - 1) + log(3*x - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{2 x - 1} + \log{\left(3 x - 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0.464627836746559$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(3*x - 1) + E^(2*x - 1).
$$e^{-1 + 0 \cdot 2} + \log{\left(-1 + 0 \cdot 3 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = e^{-1} + i \pi$$
Punto:
(0, pi*i + exp(-1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 e^{2 x - 1} + \frac{3}{3 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 e^{2 x - 1} - \frac{9}{\left(3 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3} + W\left(\frac{e^{\frac{1}{6}}}{2}\right)$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3} + W\left(\frac{e^{\frac{1}{6}}}{2}\right), \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3} + W\left(\frac{e^{\frac{1}{6}}}{2}\right)\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{2 x - 1} + \log{\left(3 x - 1 \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{2 x - 1} + \log{\left(3 x - 1 \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(3*x - 1) + E^(2*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 x - 1} + \log{\left(3 x - 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 x - 1} + \log{\left(3 x - 1 \right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{2 x - 1} + \log{\left(3 x - 1 \right)} = e^{- 2 x - 1} + \log{\left(- 3 x - 1 \right)}$$
- No
$$e^{2 x - 1} + \log{\left(3 x - 1 \right)} = - e^{- 2 x - 1} - \log{\left(- 3 x - 1 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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