Sr Examen

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x*(2-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ x*(2-x^2)

Gráfico de la función y = x*(2-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         /     2\
f(x) = x*\2 - x /
f(x)=x(2−x2)f{\left(x \right)} = x \left(2 - x^{2}\right) 
f = x*(2 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(2−x2)=0x \left(2 - x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x3=2x_{3} = \sqrt{2}
Solución numérica
x1=−1.4142135623731x_{1} = -1.4142135623731
x2=1.4142135623731x_{2} = 1.4142135623731
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(2 - x^2).
0(2−02)0 \left(2 - 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2−3x2=02 - 3 x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x2=63x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
    ___        ___ 
 -\/ 6    -4*\/ 6  
(-------, --------)
    3        9     

   ___      ___ 
 \/ 6   4*\/ 6  
(-----, -------)
   3       9


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=63x_{1} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Decrece en los intervalos
[−63,63]\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−63]∪[63,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−6x=0- 6 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(2−x2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(2 - x^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(2−x2))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 - x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(2 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2−x2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(2 - x^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(2−x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(2 - x^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(2−x2)=−x(2−x2)x \left(2 - x^{2}\right) = - x \left(2 - x^{2}\right)
- No
x(2−x2)=x(2−x2)x \left(2 - x^{2}\right) = x \left(2 - x^{2}\right)
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x*(2-x^2)
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