Sr Examen

Gráfico de la función y = (1+ln)x/(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       (1 + log(x))*x
f(x) = --------------
           x + 2     
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{x + 2}$$
f = (x*(log(x) + 1))/(x + 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = e^{-1}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.367879441171442$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((1 + log(x))*x)/(x + 2).
$$\frac{0 \left(\log{\left(0 \right)} + 1\right)}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 W\left(\frac{1}{2 e^{2}}\right)$$
Signos de extremos en los puntos:
             /       /   / -2\\\  / -2\ 
             |       |   |e  |||  |e  | 
    / -2\  2*|1 + log|2*W|---|||*W|---| 
    |e  |    \       \   \ 2 ///  \ 2 / 
(2*W|---|, ----------------------------)
    \ 2 /                 / -2\         
                          |e  |         
                   2 + 2*W|---|         
                          \ 2 /         


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 W\left(\frac{1}{2 e^{2}}\right)$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2 W\left(\frac{1}{2 e^{2}}\right), \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 W\left(\frac{1}{2 e^{2}}\right)\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{x + 2} + \frac{1}{x}}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((1 + log(x))*x)/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{x + 2} = - \frac{x \left(\log{\left(- x \right)} + 1\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{x + 2} = \frac{x \left(\log{\left(- x \right)} + 1\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar