Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 W\left(\frac{1}{2 e^{2}}\right)$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / / -2\\\ / -2\
| | |e ||| |e |
/ -2\ 2*|1 + log|2*W|---|||*W|---|
|e | \ \ \ 2 /// \ 2 /
(2*W|---|, ----------------------------)
\ 2 / / -2\
|e |
2 + 2*W|---|
\ 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 W\left(\frac{1}{2 e^{2}}\right)$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2 W\left(\frac{1}{2 e^{2}}\right), \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 W\left(\frac{1}{2 e^{2}}\right)\right]$$