Sr Examen

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(17-x^2)/(4x-5)
Trazado el gráfico de la función/ (17-x^2)/(4x-5)

Gráfico de la función y = (17-x^2)/(4x-5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             2
       17 - x 
f(x) = -------
       4*x - 5
$$f{\left(x \right)} = \frac{17 - x^{2}}{4 x - 5}$$ 
f = (17 - x^2)/(4*x - 5)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1.25$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{17 - x^{2}}{4 x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{17}$$
$$x_{2} = \sqrt{17}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4.12310562561766$$
$$x_{2} = 4.12310562561766$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (17 - x^2)/(4*x - 5).
$$\frac{17 - 0^{2}}{-5 + 0 \cdot 4}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{17}{5}$$
Punto:
(0, -17/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x}{4 x - 5} - \frac{4 \left(17 - x^{2}\right)}{\left(4 x - 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{8 x}{4 x - 5} - 1 - \frac{16 \left(x^{2} - 17\right)}{\left(4 x - 5\right)^{2}}\right)}{4 x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1.25$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{17 - x^{2}}{4 x - 5}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{17 - x^{2}}{4 x - 5}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (17 - x^2)/(4*x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{17 - x^{2}}{x \left(4 x - 5\right)}\right) = - \frac{1}{4}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{x}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{17 - x^{2}}{x \left(4 x - 5\right)}\right) = - \frac{1}{4}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{x}{4}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{17 - x^{2}}{4 x - 5} = \frac{17 - x^{2}}{- 4 x - 5}$$
- No
$$\frac{17 - x^{2}}{4 x - 5} = - \frac{17 - x^{2}}{- 4 x - 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (17-x^2)/(4x-5)
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