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x^3-4x^2-3x+2
Trazado el gráfico de la función/ x^3-4x^2-3x+2

Gráfico de la función y = x^3-4x^2-3x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2          
f(x) = x  - 4*x  - 3*x + 2
f(x)=(−3x+(x3−4x2))+2f{\left(x \right)} = \left(- 3 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) + 2 
f = -3*x + x^3 - 4*x^2 + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3x+(x3−4x2))+2=0\left(- 3 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=52−172x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}
x3=172+52x_{3} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}
Solución numérica
x1=0.43844718719117x_{1} = 0.43844718719117
x2=−1x_{2} = -1
x3=4.56155281280883x_{3} = 4.56155281280883
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 4*x^2 - 3*x + 2.
((03−4⋅02)−0)+2\left(\left(0^{3} - 4 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 2
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−8x−3=03 x^{2} - 8 x - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
x2=3x_{2} = 3
Signos de extremos en los puntos:
       68 
(-1/3, --)
       27 

(3, -16)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Puntos máximos de la función:
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−13]∪[3,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right] \cup \left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−13,3]\left[- \frac{1}{3}, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−4)=02 \left(3 x - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[43,∞)\left[\frac{4}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,43]\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+(x3−4x2))+2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) + 2\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+(x3−4x2))+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 4*x^2 - 3*x + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+(x3−4x2))+2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) + 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+(x3−4x2))+2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) + 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3x+(x3−4x2))+2=−x3−4x2+3x+2\left(- 3 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) + 2 = - x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 2
- No
(−3x+(x3−4x2))+2=x3+4x2−3x−2\left(- 3 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) + 2 = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3-4x^2-3x+2
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