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4x^3-2x^2
Trazado el gráfico de la función/ 4x^3-2x^2

Gráfico de la función y = 4x^3-2x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3      2
f(x) = 4*x  - 2*x
f(x)=4x3−2x2f{\left(x \right)} = 4 x^{3} - 2 x^{2} 
f = 4*x^3 - 2*x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4x3−2x2=04 x^{3} - 2 x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=0.5x_{1} = 0.5
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*x^3 - 2*x^2.
4⋅03−2⋅024 \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x2−4x=012 x^{2} - 4 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=13x_{2} = \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(1/3, -2/27)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[13,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,13]\left[0, \frac{1}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(6x−1)=04 \left(6 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=16x_{1} = \frac{1}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[16,∞)\left[\frac{1}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,16]\left(-\infty, \frac{1}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4x3−2x2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{3} - 2 x^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(4x3−2x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{3} - 2 x^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*x^3 - 2*x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4x3−2x2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{3} - 2 x^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(4x3−2x2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} - 2 x^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4x3−2x2=−4x3−2x24 x^{3} - 2 x^{2} = - 4 x^{3} - 2 x^{2}
- No
4x3−2x2=4x3+2x24 x^{3} - 2 x^{2} = 4 x^{3} + 2 x^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 4x^3-2x^2
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