Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) + \left(x + 10\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) + \left(x + 9\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) + \left(x + 8\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -9.71457866303762$$
$$x_{2} = -8.64887159419415$$
$$x_{3} = -7.60020712749627$$
$$x_{4} = -6.55818317841271$$
$$x_{5} = -5.51910711393962$$
$$x_{6} = -4.48089288606038$$
$$x_{7} = -3.44181682158729$$
$$x_{8} = -2.39979287250373$$
$$x_{9} = -1.35112840580585$$
$$x_{10} = -0.285421336962381$$
Signos de extremos en los puntos:
(-9.71457866303762, 416614.450289164)
(-8.64887159419415, -56668.496925142)
(-7.60020712749627, 15604.4991668655)
(-6.55818317841271, -7042.33270122293)
(-5.51910711393962, 4804.86501726786)
(-4.48089288606038, -4804.86501726786)
(-3.44181682158729, 7042.33270122293)
(-2.39979287250373, -15604.4991668655)
(-1.35112840580585, 56668.496925142)
(-0.285421336962381, -416614.450289164)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -8.64887159419415$$
$$x_{2} = -6.55818317841271$$
$$x_{3} = -4.48089288606038$$
$$x_{4} = -2.39979287250373$$
$$x_{5} = -0.285421336962381$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{5} = -9.71457866303762$$
$$x_{5} = -7.60020712749627$$
$$x_{5} = -5.51910711393962$$
$$x_{5} = -3.44181682158729$$
$$x_{5} = -1.35112840580585$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-0.285421336962381, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -8.64887159419415\right]$$