Sr Examen

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Gráfico de la función y = x*(x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)*(x+5)*(x+6)*(x+7)*(x+8)*(x+9)*(x+10)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = x*(x + 1)*(x + 2)*(x + 3)*(x + 4)*(x + 5)*(x + 6)*(x + 7)*(x + 8)*(x + 9)*(x + 10)
$$f{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right)$$
f = (((((((((x*(x + 1))*(x + 2))*(x + 3))*(x + 4))*(x + 5))*(x + 6))*(x + 7))*(x + 8))*(x + 9))*(x + 10)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -10$$
$$x_{2} = -9$$
$$x_{3} = -8$$
$$x_{4} = -7$$
$$x_{5} = -6$$
$$x_{6} = -5$$
$$x_{7} = -4$$
$$x_{8} = -3$$
$$x_{9} = -2$$
$$x_{10} = -1$$
$$x_{11} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -9$$
$$x_{3} = -8$$
$$x_{4} = -7$$
$$x_{5} = -2$$
$$x_{6} = -5$$
$$x_{7} = -3$$
$$x_{8} = 0$$
$$x_{9} = -1$$
$$x_{10} = -6$$
$$x_{11} = -10$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((((((((x*(x + 1))*(x + 2))*(x + 3))*(x + 4))*(x + 5))*(x + 6))*(x + 7))*(x + 8))*(x + 9))*(x + 10).
$$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 0 \cdot 2$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) + \left(x + 10\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) + \left(x + 9\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) + \left(x + 8\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -9.71457866303762$$
$$x_{2} = -8.64887159419415$$
$$x_{3} = -7.60020712749627$$
$$x_{4} = -6.55818317841271$$
$$x_{5} = -5.51910711393962$$
$$x_{6} = -4.48089288606038$$
$$x_{7} = -3.44181682158729$$
$$x_{8} = -2.39979287250373$$
$$x_{9} = -1.35112840580585$$
$$x_{10} = -0.285421336962381$$
Signos de extremos en los puntos:
(-9.71457866303762, 416614.450289164)

(-8.64887159419415, -56668.496925142)

(-7.60020712749627, 15604.4991668655)

(-6.55818317841271, -7042.33270122293)

(-5.51910711393962, 4804.86501726786)

(-4.48089288606038, -4804.86501726786)

(-3.44181682158729, 7042.33270122293)

(-2.39979287250373, -15604.4991668655)

(-1.35112840580585, 56668.496925142)

(-0.285421336962381, -416614.450289164)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -8.64887159419415$$
$$x_{2} = -6.55818317841271$$
$$x_{3} = -4.48089288606038$$
$$x_{4} = -2.39979287250373$$
$$x_{5} = -0.285421336962381$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{5} = -9.71457866303762$$
$$x_{5} = -7.60020712749627$$
$$x_{5} = -5.51910711393962$$
$$x_{5} = -3.44181682158729$$
$$x_{5} = -1.35112840580585$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-0.285421336962381, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -8.64887159419415\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) + \left(x + 9\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) + \left(x + 8\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x + 10\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) + \left(x + 8\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x + 9\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x + 8\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) + 3 \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -9.40518495625245$$
$$x_{3} = -8.27194949237641$$
$$x_{4} = -7.17143040265277$$
$$x_{5} = -6.08331990980511$$
$$x_{6} = -3.91668009019489$$
$$x_{7} = -2.82856959734723$$
$$x_{8} = -1.72805050762359$$
$$x_{9} = -0.594815043747554$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-0.594815043747554, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -9.40518495625245\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((((((((x*(x + 1))*(x + 2))*(x + 3))*(x + 4))*(x + 5))*(x + 6))*(x + 7))*(x + 8))*(x + 9))*(x + 10), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right) = - x \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right) \left(4 - x\right) \left(5 - x\right) \left(6 - x\right) \left(7 - x\right) \left(8 - x\right) \left(9 - x\right) \left(10 - x\right)$$
- No
$$x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right) = x \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right) \left(4 - x\right) \left(5 - x\right) \left(6 - x\right) \left(7 - x\right) \left(8 - x\right) \left(9 - x\right) \left(10 - x\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar