Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x*(x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)*(x+5)*(x+6)*(x+7)*(x+8)*(x+9)*(x+10)

Gráfico de la función y = x*(x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)*(x+5)*(x+6)*(x+7)*(x+8)*(x+9)*(x+10)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*(x + 1)*(x + 2)*(x + 3)*(x + 4)*(x + 5)*(x + 6)*(x + 7)*(x + 8)*(x + 9)*(x + 10)
f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10)f{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right) 
f = (((((((((x*(x + 1))*(x + 2))*(x + 3))*(x + 4))*(x + 5))*(x + 6))*(x + 7))*(x + 8))*(x + 9))*(x + 10)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000000000010000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10)=0x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−10x_{1} = -10
x2=−9x_{2} = -9
x3=−8x_{3} = -8
x4=−7x_{4} = -7
x5=−6x_{5} = -6
x6=−5x_{6} = -5
x7=−4x_{7} = -4
x8=−3x_{8} = -3
x9=−2x_{9} = -2
x10=−1x_{10} = -1
x11=0x_{11} = 0
Solución numérica
x1=−4x_{1} = -4
x2=−9x_{2} = -9
x3=−8x_{3} = -8
x4=−7x_{4} = -7
x5=−2x_{5} = -2
x6=−5x_{6} = -5
x7=−3x_{7} = -3
x8=0x_{8} = 0
x9=−1x_{9} = -1
x10=−6x_{10} = -6
x11=−10x_{11} = -10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((((((((x*(x + 1))*(x + 2))*(x + 3))*(x + 4))*(x + 5))*(x + 6))*(x + 7))*(x + 8))*(x + 9))*(x + 10).
10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅0⋅210 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 0 \cdot 2
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)+(x+10)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)+(x+9)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)+(x+8)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+(x+7)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+(x+6)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+(x+5)(x(x+1)(x+2)(x+3)+(x+4)(x(x+1)(x+2)+(x+3)(x(x+1)+(x+2)(2x+1)))))))))=0x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) + \left(x + 10\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) + \left(x + 9\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) + \left(x + 8\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−9.71457866303762x_{1} = -9.71457866303762
x2=−8.64887159419415x_{2} = -8.64887159419415
x3=−7.60020712749627x_{3} = -7.60020712749627
x4=−6.55818317841271x_{4} = -6.55818317841271
x5=−5.51910711393962x_{5} = -5.51910711393962
x6=−4.48089288606038x_{6} = -4.48089288606038
x7=−3.44181682158729x_{7} = -3.44181682158729
x8=−2.39979287250373x_{8} = -2.39979287250373
x9=−1.35112840580585x_{9} = -1.35112840580585
x10=−0.285421336962381x_{10} = -0.285421336962381
Signos de extremos en los puntos:
(-9.71457866303762, 416614.450289164)

(-8.64887159419415, -56668.496925142)

(-7.60020712749627, 15604.4991668655)

(-6.55818317841271, -7042.33270122293)

(-5.51910711393962, 4804.86501726786)

(-4.48089288606038, -4804.86501726786)

(-3.44181682158729, 7042.33270122293)

(-2.39979287250373, -15604.4991668655)

(-1.35112840580585, 56668.496925142)

(-0.285421336962381, -416614.450289164)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−8.64887159419415x_{1} = -8.64887159419415
x2=−6.55818317841271x_{2} = -6.55818317841271
x3=−4.48089288606038x_{3} = -4.48089288606038
x4=−2.39979287250373x_{4} = -2.39979287250373
x5=−0.285421336962381x_{5} = -0.285421336962381
Puntos máximos de la función:
x5=−9.71457866303762x_{5} = -9.71457866303762
x5=−7.60020712749627x_{5} = -7.60020712749627
x5=−5.51910711393962x_{5} = -5.51910711393962
x5=−3.44181682158729x_{5} = -3.44181682158729
x5=−1.35112840580585x_{5} = -1.35112840580585
Decrece en los intervalos
[−0.285421336962381,∞)\left[-0.285421336962381, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−8.64887159419415]\left(-\infty, -8.64887159419415\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)+(x+9)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)+(x+8)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+(x+7)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+(x+6)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+(x+5)(x(x+1)(x+2)(x+3)+(x+4)(x(x+1)(x+2)+(x+3)(x(x+1)+(x+2)(2x+1))))))))+(x+10)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)+(x+8)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+(x+7)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+(x+6)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+(x+5)(x(x+1)(x+2)(x+3)+(x+4)(x(x+1)(x+2)+(x+3)(x(x+1)+(x+2)(2x+1)))))))+(x+9)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+(x+7)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+(x+6)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+(x+5)(x(x+1)(x+2)(x+3)+(x+4)(x(x+1)(x+2)+(x+3)(x(x+1)+(x+2)(2x+1))))))+(x+8)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+(x+6)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+(x+5)(x(x+1)(x+2)(x+3)+(x+4)(x(x+1)(x+2)+(x+3)(x(x+1)+(x+2)(2x+1)))))+(x+7)(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+(x+5)(x(x+1)(x+2)(x+3)+(x+4)(x(x+1)(x+2)+(x+3)(x(x+1)+(x+2)(2x+1))))+(x+6)(x(x+1)(x+2)(x+3)+(x+4)(x(x+1)(x+2)+(x+3)(x(x+1)+(x+2)(2x+1)))+(x+5)(x(x+1)(x+2)+(x+3)(x(x+1)+(x+2)(2x+1))+(x+4)(x(x+1)+3(x+1)(x+3)+(x+2)(2x+1)))))))))=02 \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) + \left(x + 9\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) + \left(x + 8\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x + 10\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) + \left(x + 8\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x + 9\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x + 8\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x + 7\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right) + \left(x + 6\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) + 3 \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5x_{1} = -5
x2=−9.40518495625245x_{2} = -9.40518495625245
x3=−8.27194949237641x_{3} = -8.27194949237641
x4=−7.17143040265277x_{4} = -7.17143040265277
x5=−6.08331990980511x_{5} = -6.08331990980511
x6=−3.91668009019489x_{6} = -3.91668009019489
x7=−2.82856959734723x_{7} = -2.82856959734723
x8=−1.72805050762359x_{8} = -1.72805050762359
x9=−0.594815043747554x_{9} = -0.594815043747554

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−0.594815043747554,∞)\left[-0.594815043747554, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−9.40518495625245]\left(-\infty, -9.40518495625245\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((((((((x*(x + 1))*(x + 2))*(x + 3))*(x + 4))*(x + 5))*(x + 6))*(x + 7))*(x + 8))*(x + 9))*(x + 10), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10)=−x(1−x)(2−x)(3−x)(4−x)(5−x)(6−x)(7−x)(8−x)(9−x)(10−x)x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right) = - x \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right) \left(4 - x\right) \left(5 - x\right) \left(6 - x\right) \left(7 - x\right) \left(8 - x\right) \left(9 - x\right) \left(10 - x\right)
- No
x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10)=x(1−x)(2−x)(3−x)(4−x)(5−x)(6−x)(7−x)(8−x)(9−x)(10−x)x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \left(x + 7\right) \left(x + 8\right) \left(x + 9\right) \left(x + 10\right) = x \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right) \left(4 - x\right) \left(5 - x\right) \left(6 - x\right) \left(7 - x\right) \left(8 - x\right) \left(9 - x\right) \left(10 - x\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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