Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(5)*sqrt(x/(2-x^5))

Gráfico de la función y = sqrt(5)*sqrt(x/(2-x^5))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  ________
         ___     /   x    
f(x) = \/ 5 *   /  ------ 
               /        5 
             \/    2 - x
f(x)=5x2−x5f{\left(x \right)} = \sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{2 - x^{5}}} 
f = sqrt(5)*sqrt(x/(2 - x^5))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.14869835499704x_{1} = 1.14869835499704
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5x2−x5=0\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{2 - x^{5}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(5)*sqrt(x/(2 - x^5)).
502−05\sqrt{5} \sqrt{\frac{0}{2 - 0^{5}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
5x2−x5(2−x5)(5x52(2−x5)2+12(2−x5))x=0\frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{2 - x^{5}}} \left(2 - x^{5}\right) \left(\frac{5 x^{5}}{2 \left(2 - x^{5}\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(2 - x^{5}\right)}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2452x_{1} = - \frac{2^{\frac{4}{5}}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
   4/5          
 -2         2/5 
(------, I*2   )
   2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.14869835499704x_{1} = 1.14869835499704
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5x2−x5)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{2 - x^{5}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(5x2−x5)=0\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{2 - x^{5}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(5)*sqrt(x/(2 - x^5)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5x2−x5x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{2 - x^{5}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5x2−x5x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{2 - x^{5}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5x2−x5=5−xx5+2\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{2 - x^{5}}} = \sqrt{5} \sqrt{- \frac{x}{x^{5} + 2}}
- No
5x2−x5=−5−xx5+2\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{2 - x^{5}}} = - \sqrt{5} \sqrt{- \frac{x}{x^{5} + 2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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