Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(5)*sqrt(x/(2+x^5))

Gráfico de la función y = sqrt(5)*sqrt(x/(2+x^5))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  ________
         ___     /   x    
f(x) = \/ 5 *   /  ------ 
               /        5 
             \/    2 + x
f(x)=5xx5+2f{\left(x \right)} = \sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{x^{5} + 2}} 
f = sqrt(5)*sqrt(x/(x^5 + 2))
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1.14869835499704x_{1} = -1.14869835499704
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5xx5+2=0\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{x^{5} + 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(5)*sqrt(x/(2 + x^5)).
5005+2\sqrt{5} \sqrt{\frac{0}{0^{5} + 2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
5xx5+2(x5+2)(−5x52(x5+2)2+12(x5+2))x=0\frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{x^{5} + 2}} \left(x^{5} + 2\right) \left(- \frac{5 x^{5}}{2 \left(x^{5} + 2\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x^{5} + 2\right)}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2452x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
  4/5       
 2      2/5 
(----, 2   )
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2452x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,2452]\left(-\infty, \frac{2^{\frac{4}{5}}}{2}\right]
Crece en los intervalos
[2452,∞)\left[\frac{2^{\frac{4}{5}}}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1.14869835499704x_{1} = -1.14869835499704
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5xx5+2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{x^{5} + 2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(5xx5+2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{x^{5} + 2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(5)*sqrt(x/(2 + x^5)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5xx5+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{x^{5} + 2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5xx5+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{x^{5} + 2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5xx5+2=5−x2−x5\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{x^{5} + 2}} = \sqrt{5} \sqrt{- \frac{x}{2 - x^{5}}}
- No
5xx5+2=−5−x2−x5\sqrt{5} \sqrt{\frac{x}{x^{5} + 2}} = - \sqrt{5} \sqrt{- \frac{x}{2 - x^{5}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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