Sr Examen

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sqrt((x-1)/(x+1))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt((x-1)/(x+1))

Gráfico de la función y = sqrt((x-1)/(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _______
          / x - 1 
f(x) =   /  ----- 
       \/   x + 1
f(x)=x−1x+1f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} 
f = sqrt((x - 1)/(x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−1x+1=0\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((x - 1)/(x + 1)).
−1−1\sqrt{- 1^{-1}}
Resultado:
f(0)=if{\left(0 \right)} = i
Punto:
(0, i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x−1x+1(x+1)(−x−12(x+1)2+12(x+1))x−1=0\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x - 1}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x−1x+1(x−1x+1−1)(2x+1+x−1x+1−1x−1+2x−1)4(x−1)=0\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{\frac{x - 1}{x + 1} - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(x−1x+1(x−1x+1−1)(2x+1+x−1x+1−1x−1+2x−1)4(x−1))=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{\frac{x - 1}{x + 1} - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x - 1\right)}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(x−1x+1(x−1x+1−1)(2x+1+x−1x+1−1x−1+2x−1)4(x−1))=∞i\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{\frac{x - 1}{x + 1} - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x - 1\right)}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x−1x+1=1\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞x−1x+1=1\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((x - 1)/(x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−1x+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−1x+1=−x−11−x\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{\frac{- x - 1}{1 - x}}
- No
x−1x+1=−−x−11−x\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = - \sqrt{\frac{- x - 1}{1 - x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt((x-1)/(x+1))
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