Sr Examen

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sqrt(4-x^2)-2
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(4-x^2)-2

Gráfico de la función y = sqrt(4-x^2)-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________    
         /      2     
f(x) = \/  4 - x   - 2
f(x)=4−x2−2f{\left(x \right)} = \sqrt{4 - x^{2}} - 2 
f = sqrt(4 - x^2) - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4−x2−2=0\sqrt{4 - x^{2}} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(4 - x^2) - 2.
−2+4−02-2 + \sqrt{4 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x4−x2=0- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x24−x2+14−x2=0- \frac{\frac{x^{2}}{4 - x^{2}} + 1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4−x2−2)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{4 - x^{2}} - 2\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(4−x2−2)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4 - x^{2}} - 2\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(4 - x^2) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4−x2−2x)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x^{2}} - 2}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞(4−x2−2x)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x^{2}} - 2}{x}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4−x2−2=4−x2−2\sqrt{4 - x^{2}} - 2 = \sqrt{4 - x^{2}} - 2
- Sí
4−x2−2=2−4−x2\sqrt{4 - x^{2}} - 2 = 2 - \sqrt{4 - x^{2}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(4-x^2)-2
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