Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
e^3*x+10*e^2*x
-
x^11
-
(-cos(2*x)-sin(2*x))*exp(x)
-
5/(x^2-16)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos +4x+ uno)/(x^ dos -3x+ dos)
- (x al cuadrado más 4x más 1) dividir por (x al cuadrado menos 3x más 2)
- (x en el grado dos más 4x más uno) dividir por (x en el grado dos menos 3x más dos)
- (x2+4x+1)/(x2-3x+2)
- x2+4x+1/x2-3x+2
- (x²+4x+1)/(x²-3x+2)
- (x en el grado 2+4x+1)/(x en el grado 2-3x+2)
- x^2+4x+1/x^2-3x+2
- (x^2+4x+1) dividir por (x^2-3x+2)
-
Expresiones semejantes
- (x^2-4x+1)/(x^2-3x+2)
- (x^2+4x+1)/(x^2-3x-2)
- (x^2+4x-1)/(x^2-3x+2)
- (x^2+4x+1)/(x^2+3x+2)
Gráfico de la función y = (x^2+4x+1)/(x^2-3x+2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x + 4*x + 1
f(x) = ------------
2
x - 3*x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}$$
f = (x^2 + 4*x + 1)/(x^2 - 3*x + 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3.73205080756888$$
$$x_{2} = -0.267949192431123$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3.73205080756888$$
$$x_{2} = -0.267949192431123$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - 2 x\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)^{2}} + \frac{2 x + 4}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{7} - \frac{\sqrt{78}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{1}{7} + \frac{\sqrt{78}}{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{7} - \frac{\sqrt{78}}{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{7} + \frac{\sqrt{78}}{7}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{7} - \frac{\sqrt{78}}{7}, \frac{1}{7} + \frac{\sqrt{78}}{7}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{7} - \frac{\sqrt{78}}{7}\right] \cup \left[\frac{1}{7} + \frac{\sqrt{78}}{7}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - 2 x\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)^{2}} + \frac{2 x + 4}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{7} - \frac{\sqrt{78}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{1}{7} + \frac{\sqrt{78}}{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ____\ ____
11 |1 \/ 78 | 4*\/ 78
____ -- + |- - ------| - --------
1 \/ 78 7 \7 7 / 7
(- - ------, -----------------------------)
7 7 2
/ ____\ ____
11 |1 \/ 78 | 3*\/ 78
-- + |- - ------| + --------
7 \7 7 / 7 2
/ ____\ ____
11 |1 \/ 78 | 4*\/ 78
____ -- + |- + ------| + --------
1 \/ 78 7 \7 7 / 7
(- + ------, -----------------------------)
7 7 2
/ ____\ ____
11 |1 \/ 78 | 3*\/ 78
-- + |- + ------| - --------
7 \7 7 / 7 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{7} - \frac{\sqrt{78}}{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{7} + \frac{\sqrt{78}}{7}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{7} - \frac{\sqrt{78}}{7}, \frac{1}{7} + \frac{\sqrt{78}}{7}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{7} - \frac{\sqrt{78}}{7}\right] \cup \left[\frac{1}{7} + \frac{\sqrt{78}}{7}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1014}}{7} - \frac{\sqrt[3]{468}}{7} + \frac{1}{7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{1014}}{7} - \frac{\sqrt[3]{468}}{7} + \frac{1}{7}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{1014}}{7} - \frac{\sqrt[3]{468}}{7} + \frac{1}{7}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1014}}{7} - \frac{\sqrt[3]{468}}{7} + \frac{1}{7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{1014}}{7} - \frac{\sqrt[3]{468}}{7} + \frac{1}{7}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{1014}}{7} - \frac{\sqrt[3]{468}}{7} + \frac{1}{7}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 4*x + 1)/(x^2 - 3*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 3 x + 2}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = - \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 3 x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 3 x + 2}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = - \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 3 x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar