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Trazado el gráfico de la función/ x^3+2x^2-3x+4

Gráfico de la función y = x^3+2x^2-3x+4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2          
f(x) = x  + 2*x  - 3*x + 4
f(x)=(−3x+(x3+2x2))+4f{\left(x \right)} = \left(- 3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4 
f = -3*x + x^3 + 2*x^2 + 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3x+(x3+2x2))+4=0\left(- 3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−6159+8933−1336159+893−23x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{6 \sqrt{159} + 89}}{3} - \frac{13}{3 \sqrt[3]{6 \sqrt{159} + 89}} - \frac{2}{3}
Solución numérica
x1=−3.28427753730695x_{1} = -3.28427753730695
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 + 2*x^2 - 3*x + 4.
((03+2⋅02)−0)+4\left(\left(0^{3} + 2 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 4
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+4x−3=03 x^{2} + 4 x - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23+133x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}
x2=−133−23x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{2}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                 3                            2 
         ____      /        ____\               /        ____\  
   2   \/ 13       |  2   \/ 13 |      ____     |  2   \/ 13 |  
(- - + ------, 6 + |- - + ------|  - \/ 13  + 2*|- - + ------| )
   3     3         \  3     3   /               \  3     3   /  

                                          3                   2 
         ____               /        ____\      /        ____\  
   2   \/ 13         ____   |  2   \/ 13 |      |  2   \/ 13 |  
(- - - ------, 6 + \/ 13  + |- - - ------|  + 2*|- - - ------| )
   3     3                  \  3     3   /      \  3     3   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−23+133x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−133−23x_{1} = - \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{2}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−133−23]∪[−23+133,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−133−23,−23+133]\left[- \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x+2)=02 \left(3 x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−23,∞)\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+(x3+2x2))+4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+(x3+2x2))+4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 + 2*x^2 - 3*x + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+(x3+2x2))+4x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+(x3+2x2))+4x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3x+(x3+2x2))+4=−x3+2x2+3x+4\left(- 3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4 = - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 4
- No
(−3x+(x3+2x2))+4=x3−2x2−3x−4\left(- 3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4 = x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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