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Trazado el gráfico de la función/ x^3+2x^2+3x+4

Gráfico de la función y = x^3+2x^2+3x+4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2          
f(x) = x  + 2*x  + 3*x + 4
f(x)=(3x+(x3+2x2))+4f{\left(x \right)} = \left(3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4 
f = 3*x + x^3 + 2*x^2 + 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(3x+(x3+2x2))+4=0\left(3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−35+15633−23+5335+1563x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{35 + 15 \sqrt{6}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{5}{3 \sqrt[3]{35 + 15 \sqrt{6}}}
Solución numérica
x1=−1.65062919143939x_{1} = -1.65062919143939
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4.
((03+2⋅02)+0⋅3)+4\left(\left(0^{3} + 2 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 3\right) + 4
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+4x+3=03 x^{2} + 4 x + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x+2)=02 \left(3 x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−23,∞)\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((3x+(x3+2x2))+4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((3x+(x3+2x2))+4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3x+(x3+2x2))+4x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((3x+(x3+2x2))+4x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(3x+(x3+2x2))+4=−x3+2x2−3x+4\left(3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4 = - x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 4
- No
(3x+(x3+2x2))+4=x3−2x2+3x−4\left(3 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 4 = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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