Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-4)^2
- x^4-2x^3+x^2
- x³+3x²
- -0,25x^2-x+2
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro - dos x^ tres +x^2
- x en el grado 4 menos 2x al cubo más x al cuadrado
- x en el grado cuatro menos dos x en el grado tres más x al cuadrado
- x4-2x3+x2
- x⁴-2x³+x²
- x en el grado 4-2x en el grado 3+x en el grado 2
-
Expresiones semejantes
- x^4-2x^3-x^2
- x^4+2x^3+x^2
Gráfico de la función y = x^4-2x^3+x^2
Solución
Ha introducido
[src]
4 3 2 f(x) = x - 2*x + x
$$f{\left(x \right)} = x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)$$
f = x^2 + x^4 - 2*x^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \frac{1}{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
(1/2, 1/16)
(1, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \frac{1}{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(6 x^{2} - 6 x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(6 x^{2} - 6 x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 2*x^3 + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$$
- No
$$x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right) = - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$$
- No
$$x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right) = - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar