Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
-exp(-3*x)-exp(2*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt((uno - cero , setenta y cinco *x^ dos)/(uno -x^ dos))
- raíz cuadrada de ((1 menos 0,75 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (1 menos x al cuadrado ))
- raíz cuadrada de ((uno menos cero , setenta y cinco multiplicar por x en el grado dos) dividir por (uno menos x en el grado dos))
- √((1-0,75*x^2)/(1-x^2))
- sqrt((1-0,75*x2)/(1-x2))
- sqrt1-0,75*x2/1-x2
- sqrt((1-0,75*x²)/(1-x²))
- sqrt((1-0,75*x en el grado 2)/(1-x en el grado 2))
- sqrt((1-0,75x^2)/(1-x^2))
- sqrt((1-0,75x2)/(1-x2))
- sqrt1-0,75x2/1-x2
- sqrt1-0,75x^2/1-x^2
- sqrt((1-0,75*x^2) dividir por (1-x^2))
-
Expresiones semejantes
- sqrt((1-0,75*x^2)/(1+x^2))
- sqrt((1+0,75*x^2)/(1-x^2))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(6x-1)
- sqrt(x-2)^2/(x-2)
- sqrt(x)^2-sqrt(3*x)-1
- sqrt(x)+2*x
- sqrt(3)-x/x+5
Gráfico de la función y = sqrt((1-0,75*x^2)/(1-x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
__________
/ 2
/ 3*x
/ 1 - ----
/ 4
f(x) = / --------
/ 2
\/ 1 - x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}}$$
f = sqrt((1 - 3*x^2/4)/(1 - x^2))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} \left(1 - x^{2}\right) \left(- \frac{3 x}{4 \left(1 - x^{2}\right)} + \frac{x \left(1 - \frac{3 x^{2}}{4}\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right)}{1 - \frac{3 x^{2}}{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} \left(1 - x^{2}\right) \left(- \frac{3 x}{4 \left(1 - x^{2}\right)} + \frac{x \left(1 - \frac{3 x^{2}}{4}\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right)}{1 - \frac{3 x^{2}}{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{2 \sqrt{13}}{9}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{2 \sqrt{13}}{9}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{2 \sqrt{13}}{9}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{2 \sqrt{13}}{9}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{\frac{3 x^{2}}{4} - 1}{x^{2} - 1}} \left(\frac{x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{3 x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \left(-3 + \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4 x^{2} \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((1 - 3*x^2/4)/(1 - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}}$$
- Sí
$$\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = - \sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}}$$
- Sí
$$\sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}} = - \sqrt{\frac{1 - \frac{3 x^{2}}{4}}{1 - x^{2}}}$$
- No
es decir, función
es
par